14 "T" resuelvo

Matemática aplicada a la Cinemática

Un móvil parte del reposo desde A hacia B hasta alcanzar la velocidad de 25 m/s en T segundos. Luego se dirige hacia C con velocidad constante por el lapso de 4T s. A partir de allí finaliza su recorrido en D volviendo al reposo en 2T s más. Si recorrió 3.850 m, trace la gráfica de velocidad en función del tiempo para los tres tramos y calcule T.
Mostrar resolución

Gráfica de velocidad en función del tiempo:

1. Resolución gráfica (mostrar resolución gráfica)
   Sin duda, la forma más fácil de resolver este ejercicio.
   Recordemos que el área debajo de la curva de velocidad en función del tiempo (en este caso un trapecio - mostrar área de un trapecio

   Área de un trapecio = \(\frac {B+b} {2} h\), donde "B" es base mayor, "b" es base menor y "h" es la altura del trapecio

   ) es la distancia recorrida por el móvil; así que sólo debemos plantear la siguiente ecuación y despejar "T" para resolver el problema: $$\frac {7\ T+4\ T}{2}25\frac m s= 3.850\ m$$ $$\frac {11\ T}{2}=\frac {3.850\ m}{25\frac m s}$$ $$11\ T=2\frac {3.850}{25}m\frac s m$$ $$T=\frac {308}{11}s$$ $$T=28\ s$$
2. Resolución analítica (mostrar resolución analítica)
   Esta forma de resolución es más laboriosa que la resolución gráfica, pero representa un desafío más que interesante desde el punto de vista físico y matemático.
   
   Al final del movimiento (en el punto D) y luego de transcurridos \(7T\) segundos se verifica $$X_D=3.850m$$ Pero, antes a los \(5T\) segundos el móvil se hallaba en el punto C, y a \(T\) segundos se hallaba en el punto B, por consiguiente la posición en el punto D, \(X_D\), depende de las posiciones del móvil en el punto C \(X_C\) y en el punto B \(X_B\).
   Antes de continuar, tenga en cuenta que cuando se hace referencia a \(t\) (en minúscula) se refiere a la variable tiempo, mientras que \(T\) (en mayúscula) se refiere al valor que tenemos que averiguar.
   

   • \(X_B\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo A-B, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{A-B(t)}=\overbrace{X_A}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_A}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(A-B)}\Delta t^2$$ $$X_{A-B(t)}=X_A+V_A(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(A-B)}(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})^2$$ Como el móvil parte del reposo, la posición, la velocidad inicial y el tiempo son nulos. Por consiguiente, la ecuación se reduce a: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 a_{(A-B)}t^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(A-B)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_B - V_A}{t_B - t_A}=\frac {25\frac m s - 0\frac m s}{T s - 0 s}=\frac {25} T \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 \frac {25} T \frac m {s^2} t^2$$ Ahora bien, en el punto B, al final de este tramo, transcurridos \(T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{A-B(T)}=\frac {25} 2 \frac m {s^2} \frac {T^2}{T}$$ Simplificando:
     $$X_B=12,5\frac m s T$$
   • \(X_C\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo B-C, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme - MRU
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{B-C(t)}=\overbrace {X_B}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_B}^{vel.\ inicial}\Delta t$$ $$X_{B-C(t)}=X_B+\underbrace {25\frac m s}_{dato} (t-\underbrace {t_B}_{T\ s})$$ Entonces, la ecuación de posición en función del tiempo de este tramo queda: $$X_{B-C(t)}=X_B+25\frac m s (t-T)$$ Ahora bien, en el punto C, al final de este tramo, transcurridos \(5T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s (5T-T)$$ $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s 4T$$ Simplificando:
     $$X_C=X_B+100\frac m s T$$
   • \(X_D\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo C-D, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{C-D(t)}=\overbrace{X_C}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_C}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(C-D)}\Delta t^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+V_C(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-5T)^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(C-D)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_D - V_C}{t_D - t_C}=\frac {0\frac m s - 25\frac m s}{7T s - 5T s}=-\frac {25} {2T} \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(t-5T)^2$$ Ahora bien, en el punto D, al final de este tramo, transcurridos 7T segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s (7T-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(7T-5T)^2$$ $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s 2T-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(2T)^2$$ Simplificando:
     $$X_D=X_C+50\frac m s T-25\frac m s T$$
   • Cálculo de \(T\)
     $$X_D=3.850m$$ $$X_D=\underbrace {\overbrace {12,5\frac m s T}^{X_B}+100\frac m s T}_{X_C}+50\frac m s T-25\frac m s T=3.850m$$ $$137,5\frac m s T=3.850m$$ $$T=\frac {3.850m} {137,5\frac m s }$$ $$T=28s$$

Mostrar resultado

$$T=28s$$ Gráfica de velocidad en función del tiempo: