Es una forma de simplificar la escritura de números muy grandes o muy pequeños para realizar operaciones con ellos de una manera simple en donde se representan los números utilizando potencias.
Introducción
Existen básicamente dos grandes grupos de sistemas de representación numérica: posicionales y no posicionales. En los sistemas no posicionales la ubicación de cada cifra sigue un patrón o reglas para la confección de un número final. Por ejemplo el símbolo “I” del sistema de numeración romana, que representa por sí solo el número decimal 1, si lo colocamos junto a otros símbolos adquirirá valores en función de su posición relativa; por ejemplo “II” es 2 (1+1), pero, por ejemplo en “IV” resta uno al número “V” (5 en números decimales) o sea, resulta el valor final 4. De esta manera, podemos observar que dependiendo de la posición que ocupe la cifra “I” en el número final de un número romano, va adquiriendo distintos significados según las reglas establecidas para este tipo de sistema. Dicho de otra manera, no podríamos establecer un “peso” para la posición que ocupe una cifra dentro de un número romano. Otro ejemplo de sistema de representación numérica no posicional resulta la notación con jeroglíficos, que utiliza símbolos para determinar cantidades.
Los sistemas de representación posicional tienen la característica de que cada posición dentro del número posee un valor determinado por la base del sistema. Si el sistema de numeración es decimal (es decir se utilizan 10 símbolos para representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), los números pueden descomponerse en factores de potencias de 10. Si el sistema de numeración es octal (se utilizan 8 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7), los números pueden descomponerse en factores de potencias de 8. Si es hexadecimal (16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F), en factores de potencias de 16. Si es binario (2 símbolos: 0 y 1), los números pueden descomponerse en potencias de 2.
Los números decimales son los que utilizamos diariamente y usualmente se los denomina arábigos en referencia a los árabes, quienes fueron los que los introdujeron en Europa, aunque en realidad su invención proviene de la India, por eso es que al sistema decimal también se lo denomina indo arábigo.
Los números binarios encuentran su aplicación en las ciencias de cómputo, tales como la informática y los sistemas de computación. La existencia o no de electricidad dentro de un componente electrónico se representa muy bien matemáticamente con el símbolo uno y cero (existencia de tensión eléctrica / inexistencia de tensión).
Descomposición en Factores
Hablando ya de sistemas posicionales, en un número de cuatro cifras no es lo mismo ubicar un símbolo numérico en la primera, en la segunda, en la tercera o en la cuarta posición (en un sistema posicional que admita las cifras 1, 2, 3 y 4, 1.234 es distinto de 3.241). Esto es así porque las posiciones dentro de un número en un sistema posicional poseen un peso y, una misma cifra ubicada en distintas posiciones adquiere diferentes valores.
Esta propiedad hace posible que un número pueda ser expresado mediante una descomposición "en factores" entre cada cifra y el valor de la posición.
| n° dec. \(3.459\) |
Pos. 3 |
Pos. 2 |
Pos. 1 |
Pos. 0 |
| peso |
\(\ 10^3=1.000\ \) |
\(\ 10^2=100\ \) |
\(\ 10^1=10\ \) |
\(\ 10^0=1\ \) |
| cifra |
\(3\) |
\(4\) |
\(5\) |
\(9\) |
descomp. en fact.
de pot. de 10 |
\(3x10^3+4x10^2+5x10^1+9x10^0\)
\(3x1.000+4x100+5x10+9x1\)
\(3.000+400+50+9=3.459\) |
| n° bin. \(11101\) |
Pos. 4 |
Pos. 3 |
Pos. 2 |
Pos. 1 |
Pos. 0 |
| peso dec. |
\(\ 2^4=16\ \) |
\(\ 2^3=8\ \) |
\(\ 2^2=4\ \) |
\(\ 2^1=2\ \) |
\(\ 2^0=1\ \) |
| cifra bin. |
\(1\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
descomp. en fact.
de pot. de 2 |
\(1x2^4+1x2^3+1x2^2+0x2^1+1x2^0\)
\(1x16+1x8+1x4+0x2+1x1\)
\(16+8+4+0+1=29\) |
| n° dec. \(-(0,03)\) |
Pos. 0 |
Pos. -1 |
Pos. -2 |
| peso |
\(\ 10^0=1\ \) |
\(\ 10^{-1}=0,1\ \) |
\(\ 10^{-2}=0,01\ \) |
| cifra |
\(0,\) |
\(0\) |
\(3\) |
descomp. en fact.
de pot. de 10 |
\(-(0x10^0+0x10^{-1}+3x10^{-2})\)
\(-(0x1+0x0,1+3x0,01)\)
\(-(0+0+0,03=0,03)=-0,03\) |
Notación Científica
Para escribir números muy grandes o números muy chicos usualmente los valores más significativos son los que ocupan las posiciones más altas o las más bajas respectivamente, prescindiendo de las primeras posiciones del número. Aprovechando esto y la descomposición factorial en potencias podemos escribir estos números de una forma más simple y elegante. Esto también permitirá operar matemáticamente con ellos de una manera más apropiada y sencilla evitando limitaciones físicas tales como cantidad de cifras soportadas por una calculadora, computadora, etc.
Mol es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades. Es por definición una constante que no depende de la sustancia, denominada número de Avogadro y su magnitud equivale aproximadamente a 602.200.000.000.000.000.000.000 en un sistema de numeración decimal.
Para escribir este número en notación científica, primero decidimos donde ubicar la coma decimal, por ejemplo: después del 6. Luego contamos las posiciones que ocupan las cifras restantes y obtenemos así el exponente para construir la notación científica:
$$6\overbrace {02.200.000.000.000.000.000.000}^{23\ posiciones}=6,022x10^{23}$$
Google. El nombre de este famoso buscador de internet deriva de un error ortográfico de la palabra Googol (que se pronuncia gúgol). 1 gúgol=\(10^{100}\): un 1 seguido de 100 ceros! Este término fue acuñado en 1.938 por Milton Sirotta cuando tenía 9 años, sobrino de Edward Kasner (1878 – 1955), un matemático judío norteamericano, cuando este le preguntó qué nombre se imaginaba para un número muy grande. Este número no tiene una particular importancia para las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Fue creado para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito.
Masa del Electrón. Un átomo está compuesto por un núcleo en donde se encuentran los protones y neutrones y, en órbitas se encuentran los electrones. Un electrón no tiene componentes o subestructuras conocidos, por lo que se considera una partícula elemental. En muchos fenómenos físicos, tales como la electricidad, el magnetismo o la conductividad térmica, los electrones tienen un papel esencial.
La masa del electrón es \(9,109.382.91\ x\ 10^{-31}\) kg. Para escribir este número en notación decimal, desplazamos la coma decimal hacia la izquierda 31 posiciones, rellenando con ceros:
$$0,\overbrace {000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.9}^{31 posiciones}10.938.291$$
Ejercicios
- ¿Qué número decimal representa?
- \(2x10^7\)
$$2\overbrace{0.000.000}^{7\ pos.}$$
Ubicamos el 2 en la posición \(7\) y completamos con ceros las posiciones siguientes hasta llegar a la posición cero:
| Pos. 7 |
Pos. 6 |
Pos. 5 |
Pos. 4 |
Pos. 3 |
Pos. 2 |
Pos. 1 |
Pos. 0 |
| \(\ 10^7\ \) |
\(\ 10^6\ \) |
\(\ 10^5\ \) |
\(\ 10^4\ \) |
\(\ 10^3\ \) |
\(\ 10^2\ \) |
\(\ 10^1\ \) |
\(\ 10^0\ \) |
| \(2\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(2x10^7+0x10^6+0x10^5+0x10^4+0x10^3+0x10^2+0x10^1+0x10^0\)
\(20.000.000+0+0+0+0+0+0+0=20.000.000\) |
- \(0,3x10^{-7}\)
$$0,\overbrace{000.000.0}^{7\ pos.}3$$
Ubicamos el 0 en la posición \(-7\) y por ende, el 3 en la posición \(-8\) y completamos las posiciones precedentes con ceros hasta llegar a la posición cero:
| Pos. 0 |
Pos. -1 |
Pos. -2 |
Pos. -3 |
Pos. -4 |
Pos. -5 |
Pos. -6 |
Pos. -7 |
Pos. -8 |
| \(\ 10^0\ \) |
\(\ 10^{-1}\ \) |
\(\ 10^{-2}\ \) |
\(\ 10^{-3}\ \) |
\(\ 10^{-4}\ \) |
\(\ 10^{-5}\ \) |
\(\ 10^{-6}\ \) |
\(\ 10^{-7}\ \) |
\(\ 10^{-8}\ \) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(3\) |
\(0x10^0+0x10{^-1}+0x10^{-2}+0x10^{-3}+0x10^{-4}+0x10^{-5}+0x10^{-6}+0x10^{-7}+3x10^{-8}\)
\(0+0+0+0+0+0+0+0+0,000.000.03=0,000.000.03\) |
- \(-0,21x10^{9}\)
$$-\overbrace{210.000.000}^{9\ pos.}$$
Nos "olvidamos" temporalmente del signo negativo y ubicamos el 0 en la posición \(9\) y por ende, el 2 en la posición \(8\), el 1 en la posición \(7\) y completamos las posiciones siguientes con ceros hasta llegar a la posición cero:
| Pos. 9 |
Pos. 8 |
Pos. 7 |
Pos. 6 |
Pos. 5 |
Pos. 4 |
Pos. 3 |
Pos. 2 |
Pos. 1 |
Pos. 0 |
| \(\ 10^9\ \) |
\(\ 10^8\ \) |
\(\ 10^7\ \) |
\(\ 10^6\ \) |
\(\ 10^5\ \) |
\(\ 10^4\ \) |
\(\ 10^3\ \) |
\(\ 10^2\ \) |
\(\ 10^1\ \) |
\(\ 10^0\ \) |
| \(0\) |
\(2\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0x10^9+2x10^8+1x10^7+0x10^6+0x10^5+0x10^4+0x10^3+0x10^2+0x10^1+0x10^0\)
\(0+200.000.000+10.000.000+0+0+0+0+0+0+0=210.000.000\) |
Por último no "olvidemos" que el número era negativo, por lo que el resultado es \(-210.000.000\)
- \(-12,03x10^{-5}\)
$$-0,\overbrace{000.12}^{5\ pos.}0.3$$
Nos "olvidamos" temporalmente del signo negativo y ubicamos el 1 en la posición \(-4\), el 2 en la posición \(-5\), el 0 en la posición \(-6\), el 3 en la posición \(-7\) y completamos las posiciones precedentes con ceros hasta llegar a la posición cero:
| Pos. 0 |
Pos. -1 |
Pos. -2 |
Pos. -3 |
Pos. -4 |
Pos. -5 |
Pos. -6 |
Pos. -7 |
| \(\ 10^0\ \) |
\(\ 10^{-1}\ \) |
\(\ 10^{-2}\ \) |
\(\ 10^{-3}\ \) |
\(\ 10^{-4}\ \) |
\(\ 10^{-5}\ \) |
\(\ 10^{-6}\ \) |
\(\ 10^{-7}\ \) |
| \(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(0\) |
\(3\) |
\(0x10^0+0x10^{-1}+0x10^{-2}+0x10^{-3}+1x10^{-4}+2x10^{-5}+0x10^{-6}+3x10^{-7}\)
\(0+0+0+0+0,000.1+0,000.02+0+0,000.000.3+0=0,000.120.3\) |
Por último no "olvidemos" que el número era negativo, por lo que el resultado es \(-0,000.120.3\)
- Expresar en notación científica los siguientes números decimales:
- \(1.203.000\)
$$1,203x10^{6}$$
Primero elegimos el lugar donde queremos ubicar la coma decimal (o bien, el exponente de la potencia de 10 que nos convenga para realizar cálculos). En este ejercicio ubicaremos la coma luego del número 1 y a partir de allí contamos la cantidad de posiciones restantes para hallar el exponente de la potencia de diez:
$$1,\overbrace {203.000}^{6\ posiciones}$$
Recordando que los ceros a la derecha en la parte decimal no tienen valor, escribimos el número en notación científica:
$$1.203.000=1,203x10^{6}$$
Aunque podríamos haber querido que 12 sea el número entero, en ese caso, la coma estaría ubicada después del número 2, por consiguiente los números restantes ocupan 5 posiciones y el número en notación científica equivalente sería:
$$12,03x10^{5}$$
- \(-0,000.000.000.024\)
$$-2,4x10^{-11}$$
Primero elegimos el lugar donde queremos ubicar la coma decimal (o bien, el exponente de la potencia de 10 que nos convenga para realizar cálculos). En este ejercicio ubicaremos la coma luego del número 2 y a partir de allí contamos la cantidad de posiciones precedentes hasta llegar a la coma decimal para hallar el exponente negativo de la potencia de diez:
$$-0\ \overbrace {000.000.000.02}^{11\ posiciones},4$$
Recordando que los ceros a la izquierda en la parte entera no tienen valor, escribimos el número en notación científica:
$$-0,000.000.000.024=-2,4x10^{-11}$$
Aunque podríamos haber querido que 24 sea el número entero, en ese caso, la coma estaría ubicada después del número 4, por consiguiente los números precedentes ocupan 12 posiciones y el número en notación científica equivalente sería:
$$24x10^{-12}$$
- \(-24.000.000.000\)
$$-2,4x10^{10}$$
El mecanismo de resolución es muy similar el explicado para el ejercicio 2)a.
- ¿Existe un único resultado correcto para cada valor hallado?
