21 Triángulo 3D "Vectorizado"

Fuente: Cuadernillo de Ejercitación de Matemática I de UNM, Primer Cuatrimestre Año 2015.

Dados los puntos \(A:(-1;2;3)\), \(B:(0;2;5)\) y \(C:(4;0;6)\)

1. Verifique que los puntos no están alineados
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   Vamos a demostrar por el absurdo: supongamos que estan alineados. Para la demostración construyamos dos vectores a partir de los tres puntos de tal manera que tengan un origen comun. Esto nos da tres caminos posibles que puede tomar la resolución del problema, todos ellos válidos:

   • Si elegimos \(A\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {AB}=B-A=(0;2;5)-(-1;2;3)=(1;0;2)$$ $$\vec {AC}=C-A=(4;0;6)-(-1;2;3)=(5;-2;3)$$ Luego, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {AB}=k.\vec {AC}\) o bien \(\vec {AC}=k.\vec {AB}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {AB}=k.\vec {AC}\), ver resolución
       $$(1;0;2)=k.(5;-2;3)$$ $$(1;0;2)=(5k;-2k;3k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}1=5k\\0=-2k\\2=3k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 15\), de la segunda, \(k=0\) y de la tercera, \(k=\frac 23\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {AC}=k.\vec {AB}\), ver resolución
       $$(5;-2;3)=k.(1;0;2)$$ $$(5;-2;3)=(k;0;2k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}5=k\\-2=0!!!\\3=2k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=5\), de la segunda, \(-2=0!!!\) y de la tercera, \(k=\frac 32\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número y además no hubiésemos arribado a un absurdo como el de la segunda ecuación. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   • Si elegimos \(B\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {BA}=A-B=(-1;2;3)-(0;2;5)=(-1;0;-2)$$ $$\vec {BC}=C-B=(4;0;6)-(0;2;5)=(4;-2;1)$$ A partir de aquí, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {BA}=k.\vec {BC}\) o bien \(\vec {BC}=k.\vec {BA}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {BA}=k.\vec {BC}\), ver resolución
       $$(-1;0;-2)=k.(4;-2;1)$$ $$(-1;0;-2)=(4k;-2k;k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-1=4k\\0=-2k\\-2=k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=-\frac 14\), de la segunda, \(k=0\) y de la tercera, \(k=-2\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {BC}=k.\vec {BA}\), ver resolución
       $$(4;-2;1)=k.(-1;0;-2)$$ $$(4;-2;1)=(-k;0;-2k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}4=-k\\-2=0!!!\\1=-2k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=-4\), de la segunda, \(-2=0!!!\) y de la tercera, \(k=-\frac 12\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número y además no hubiésemos arribado a un absurdo como el de la segunda ecuación. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   • Si elegimos \(C\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {CA}=A-C=(-1;2;3)-(4;0;6)=(-5;2;-3)$$ $$\vec {CB}=B-C=(0;2;5)-(4;0;6)=(-4;2;-1)$$ A partir de aquí, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {CA}=k.\vec {CB}\) o bien \(\vec {CB}=k.\vec {CA}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {CA}=k.\vec {CB}\), ver resolución
       $$(-5;2;-3)=k.(-4;2;-1))$$ $$(-5;2;-3)=(-4k;2k;-k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-5=-4k\\2=2k\\-3=-k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 54\), de la segunda, \(k=1\) y de la tercera, \(k=3\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {CB}=k.\vec {CA}\), ver resolución
       $$(-4;2;-1)=k.(-5;2;-3)$$ $$(-4;2;-1)=(-5k;2k;-3k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-4=-5k\\2=2k\\-1=-3k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 45\), de la segunda, \(k=1\) y de la tercera, \(k=\frac 13\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   
   
2. Halle el área del triángulo \(ABC\)
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   • Si elegimos los vectores \(\vec {AB}\) y \(\vec {AC}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(A\), \(\vec {AB}\) y \(\vec {AC}\): $$\vec {AB}=B-A=(0;2;5)-(-1;2;3)=(1;0;2)$$ $$\vec {AC}=C-A=(4;0;6)-(-1;2;3)=(5;-2;3)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|} {2} = \frac {\|(1;0;2) \times (5;-2;3) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 1 & 0 & 2\cr 5 & -2 & 3} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{0 & 2\cr -2 & 3} \right | \breve i - \left | \matrix{1 & 2\cr 5 & 3} \right | \breve j + \left | \matrix{1 & 0\cr 5 & -2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(0).(3)-(-2).(2)] \breve i - [(1).(3) - (2).(5)] \breve j + [(1).(-2)-(5).(0) \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (0+4) \breve i - (3-10) \breve j + (-2-0) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|} {2} = \frac {\| (5;-2;3) \times (1;0;2) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 5 & -2 & 3\cr 1 & 0 & 2} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{-2 & 3\cr 0 & 2} \right | \breve i - \left | \matrix{5 & 3\cr 1 & 2} \right | \breve j + \left | \matrix{5 & -2\cr 1 & 0} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(-2).(2)-(0).(3)] \breve i - [(5).(2) - (1).(3)] \breve j + [(5).(0)-[(1).(-2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-4-0) \breve i - (10-3) \breve j + (0+2) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   • Si elegimos los vectores \(\vec {BA}\) y \(\vec {BC}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(B\), \(\vec {BA}\) y \(\vec {BC}\): $$\vec {BA}=A-B=(-1;2;3)-(0;2;5)=(-1;0;-2)$$ $$\vec {BC}=C-B=(4;0;6)-(0;2;5)=(4;-2;1)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|} {2} = \frac {\|(-1;0;-2) \times (4;-2;1) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -1 & 0 & -2\cr 4 & -2 & 1} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{0 & -2\cr -2 & 1} \right | \breve i - \left | \matrix{-1 & -2\cr 4 & 1} \right | \breve j + \left | \matrix{-1 & 0\cr 4 & -2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(0).(1)-(-2).(-2)] \breve i - [(-1).(1) - (4).(-2)] \breve j + [(-1).(-2)-(4).(0)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (0-4) \breve i - (-1+8) \breve j + (2-0) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|} {2} = \frac {\| (4;-2;1) \times (-1;0;-2) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 4 & -2 & 1\cr -1 & 0 & -2} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{-2 & 1\cr 0 & -2} \right | \breve i - \left | \matrix{4 & 1\cr -1 & -2} \right | \breve j + \left | \matrix{4 & -2\cr -1 & 0} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(-2).(-2)-(0).(1)] \breve i - [(4).(-2) - (-1).(1)] \breve j + [(4).(0)-(-1).(-2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (4-0) \breve i - (-8+1) \breve j + (0-2) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   • Si elegimos los vectores \(\vec {CA}\) y \(\vec {CB}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(C\), \(\vec {CA}\) y \(\vec {CB}\): $$\vec {CA}=A-C=(-1;2;3)-(4;0;6)=(-5;2;-3)$$ $$\vec {CB}=B-C=(0;2;5)-(4;0;6)=(-4;2;-1)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|} {2} = \frac {\|(-5;2;-3) \times (-4;2;-1) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -5 & 2 & -3\cr -4 & 2 & -1} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{2 & -3\cr 2 & -1} \right | \breve i - \left | \matrix{-5 & -3\cr -4 & -1} \right | \breve j + \left | \matrix{-5 & 2\cr -4 & 2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(2).(-1)-(2).(-3)] \breve i - [(-5).(-1) - (-4).(-3)] \breve j + [(-5).(2)-(-4).(2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-2+6) \breve i - (5-12) \breve j + (-10+8) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|} {2} = \frac {\|(-4;2;-1) \times (-5;2;-3) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -4 & 2 & -1\cr -5 & 2 & -3} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{2 & -1\cr 2 & -3} \right | \breve i - \left | \matrix{-4 & -1\cr -5 & -3} \right | \breve j + \left | \matrix{-4 & 2\cr -5 & 2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(2).(-3)-(2).(-1)] \breve i - [(-4).(-3) - (-5).(-1)] \breve j + [(-4).(2)-(-5).(2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-6+2) \breve i - (12-5) \breve j + (-8+10) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   
   Mostrar Resultado
   $$\frac {\sqrt {69}} {2}$$
   
   

20 Vectores \(\parallel\) y \(\perp\)

Fuente: Cuadernillo de Ejercitación de Matemática I de UNM, Primer Cuatrimestre Año 2015.

Dados \(\vec{v}=(m;1;2)\) y \(\vec{w}=(-2;n;-1)\) encuentre todos los valores reales para que:

1. \(\vec{v}\parallel \vec{w}\)
   Mostrar Resolución
   Si dos vectores son paralelos, entonces uno de ellos puede expresarse como un número escalar multiplicado por el otro. De esta aseveración surgen dos posibilidades: \(\vec{v}=k.\vec{w}\) o bien, \(\vec{w}=k.\vec{v}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

   • A partir de \(\vec{v}=k.\vec{w}\), ver resolución
     $$(m;1;2)=k.(-2;n;-1)$$ $$(m;1;2)=(-2k;nk;-k)$$ A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}m=-2k\\1=nk\\2=-k\end{cases}$$ El valor de \(k\) en la última ecuación de este sistema de ecuaciones, me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   • A partir de \(\vec{w}=k.\vec{v}\), ver resolución
     \((-2;n;-1)=k.(m;1;2)\) \((-2;n;-1)=(mk;k;2k)\) A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}-2=mk\\n=k\\-1=2k\end{cases}$$ De la última ecuación de este sistema de ecuaciones, se deduce: $$-1=2k$$ $$k=-\frac 12$$ Este valor me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   
   Mostrar Resultado
   $$m=4$$ $$n=-\frac 12$$
   
   
2. \(\vec{v}\perp \vec{w}\)
   Mostrar Resolución
   Si dos vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre dichos vectores es nulo. $$\vec{v} \cdot \vec{w}=0$$ $$(m;1;2) \cdot (-2;n;-1)=0$$ $$-2m+n-2=0$$ $$-2m+n=2$$ A partir de aquí, podemos considerar expresar a \(m\) en función de \(n\) o viceversa:

   • \(m\) en función de \(n\), ver resolución
     $$-2m=2-n$$ $$2m=n-2$$ $$m=\frac {n-2}2$$ $$m=\frac n2 - \frac 22$$
     
     
   • \(n\) en función de \(m\), ver resolución
     $$n=2+2m$$ $$n=2m+2$$
   
   Mostrar Resultado
   \(m=\frac n2 - 1\) o bien \(n=2(m+1)\)