20 Vectores \(\parallel\) y \(\perp\)

Fuente: Cuadernillo de Ejercitación de Matemática I de UNM, Primer Cuatrimestre Año 2015.

Dados \(\vec{v}=(m;1;2)\) y \(\vec{w}=(-2;n;-1)\) encuentre todos los valores reales para que:

1. \(\vec{v}\parallel \vec{w}\)
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   Si dos vectores son paralelos, entonces uno de ellos puede expresarse como un número escalar multiplicado por el otro. De esta aseveración surgen dos posibilidades: \(\vec{v}=k.\vec{w}\) o bien, \(\vec{w}=k.\vec{v}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

   • A partir de \(\vec{v}=k.\vec{w}\), ver resolución
     $$(m;1;2)=k.(-2;n;-1)$$ $$(m;1;2)=(-2k;nk;-k)$$ A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}m=-2k\\1=nk\\2=-k\end{cases}$$ El valor de \(k\) en la última ecuación de este sistema de ecuaciones, me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   • A partir de \(\vec{w}=k.\vec{v}\), ver resolución
     \((-2;n;-1)=k.(m;1;2)\) \((-2;n;-1)=(mk;k;2k)\) A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}-2=mk\\n=k\\-1=2k\end{cases}$$ De la última ecuación de este sistema de ecuaciones, se deduce: $$-1=2k$$ $$k=-\frac 12$$ Este valor me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   
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   $$m=4$$ $$n=-\frac 12$$
   
   
2. \(\vec{v}\perp \vec{w}\)
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   Si dos vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre dichos vectores es nulo. $$\vec{v} \cdot \vec{w}=0$$ $$(m;1;2) \cdot (-2;n;-1)=0$$ $$-2m+n-2=0$$ $$-2m+n=2$$ A partir de aquí, podemos considerar expresar a \(m\) en función de \(n\) o viceversa:

   • \(m\) en función de \(n\), ver resolución
     $$-2m=2-n$$ $$2m=n-2$$ $$m=\frac {n-2}2$$ $$m=\frac n2 - \frac 22$$
     
     
   • \(n\) en función de \(m\), ver resolución
     $$n=2+2m$$ $$n=2m+2$$
   
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   \(m=\frac n2 - 1\) o bien \(n=2(m+1)\)