Fuente: Gustavo Díaz Vélez
La función mantisa \(x-\lfloor x\rfloor\) ¿es una función par o impar?
Ésta es una función trascendental porque trasciende el álgebra y devuelve el valor no entero del argumento. Su representación gráfica es:
La función mantisa es una función impar pues se verifica que \(f_{(-x)}=-f_{(x)}\)
$$f_{(x)}=x-\lfloor x\rfloor$$
$$f_{(-x)}=-x-\lfloor -x\rfloor=-x+\lfloor x\rfloor=-(x-\lfloor x\rfloor)=-f_{(x)}$$
Y, al ser una función impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
¿es una función periódica?
Una función es periódica si se verifica que \(f_{(x+P)}=f_{(x)}\ \) siendo P el mínimo valor de un conjunto de números positivos para los cuales se verifica la igualdad. Dicho esto, analicemos la periodicidad de la función mantisa:
$$¿f_{(x+P)}=f_{(x)}?$$
$$¿x+P-\lfloor x+P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor?$$
$$x-\lfloor x\rfloor +P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor$$
$$P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor -(x-\lfloor x\rfloor)$$
$$P-\lfloor P\rfloor=0$$
$$P=\lfloor P\rfloor$$
Y esto se verifica para todos los números que no posean mantisa, es decir, para cuando \(P\) es igual a 1, 2, 3 y en general para todos los números naturales. Por lo tanto la función mantisa es periódica y su período es 1.
Notemos que esta igualdad se verifica también para todos los números negativos, e incluso para el valor cero. Por consiguiente, ¿que podemos decir acerca de la periodicidad de esta función a derecha e izquierda respecto del eje de ordenadas?
No hay comentarios.:
Publicar un comentario