6 - Área entre parábola y recta

Fuente: EC7, Leithold, Oxford.

Calcule el área de la región limitada por la parábola \(y^2=2x-2\) y la recta \(y=x-5\)

(mostrar resolución)

Al graficar las curvas vemos que se intersecan en dos puntos y el área buscada es la región que se encuentra limitada entre ambas.

La ecuación \(y^2=2x-2\) es equivalente a las funciones \(f_{1(x)}=\sqrt{2x-2}\) y \(f_{2(x)}=-\sqrt{2x-2}\). De modo que la primera ecuación porporciona la parte superior de la parábola mientras que la segunda ecuación la parte de abajo.
\(A_1=\frac {16}{3}\ unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$A_1=\int_1^3 {f_{1(x)}-f_{2(x)}\ dx}=\int_1^3 {\sqrt{2x-2}-(-\sqrt{2x-2})\ dx}=\int_1^3 {\sqrt{2x-2}+\sqrt{2x-2}\ dx}$$ $$A_1=2\int_1^3 {\sqrt{2x-2}\ dx}=2\int_1^3 {\sqrt{2(x-1)}\ dx}=2\int_1^3 {\sqrt{2}\sqrt{x-1}\ dx}$$ $$A_1=2\sqrt{2}\int_1^3 {\sqrt{x-1}\ dx}=2\sqrt{2}\int_1^3 {(x-1)^{\frac{1}{2}}\ dx}=\left.2\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac {1}{2}+1}\right|_1^3$$ $$A_1=\left.2\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac {3}{2}}\right|_1^3=\left.2\sqrt{2}\ \frac {2}{3}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}\right|_1^3=\left.\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}\right|_1^3$$ $$A_1=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (3-1)^{\frac{3}{2}}-\left(\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (1-1)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 2^{\frac{3}{2}}-\left(\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 0^{\frac{3}{2}}\right)$$ $$A_1=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 2^{\frac{3}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^{\frac{1}{2}}\ 2^{\frac{3}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)}=\frac {4}{3}\ 2^{\frac{4}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^2=\frac {4}{3}\ 4$$

\(A_2=\frac {38}{3} unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$A_2=\int_3^9 {f_{1(x)}-g_{(x)}\ dx}=\int_3^9 {\sqrt{2x-2}-(x-5)\ dx}=\int_3^9 {\sqrt{2(x-1)}-x+5\ dx}$$ $$A_2=\int_3^9 {\sqrt{2}\sqrt{x-1}-x+5\ dx}=\left.\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac {1}{2}+1}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9=\left.\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac {3}{2}}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9$$ $$A_2=\left.\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (9-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{9^2}{2}+5(9)-\left(\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (3-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{3^2}{2}+5(3)\right)$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (8)^{\frac{3}{2}}-\frac{81}{2}+45-\left(\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (2)^{\frac{3}{2}}-\frac{9}{2}+15\right)=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{8^3}-\frac{81}{2}+45-\frac {8}{3}+\frac {9}{2}-15$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{512}-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{2}\sqrt{256}-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2^2}\ (16)-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {2}{3}\ (2)\ (16)-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30$$ $$A_2=\frac {4}{3}\ 16-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {64}{3}-\frac {8}{3}-\frac{72}{2}+30=\frac {56}{3}-\frac{72}{2}+30=\frac{112-216+180}{6}=\frac {76}{6}$$

\(\acute Area_{Total}=18\ unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$\acute Area_{Total}=A_1+A_2$$ $$\acute Area_{Total}=\frac {16}{3}+\frac {38}{3}=\frac {16+38}{3}=\frac {54}{3}$$