17 Vectores Perpendiculares

Rectas que contienen a vectores perpendiculares

Dados los siguientes puntos y vectores:

1. Hallar la ecuación general de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) y a \(\vec{DC}\)
   Mostrar resolución
   Recordamos que la ecuación de una recta tiene la siguiente forma: \(y=ax+b\), siendo \(a\) la pendiente (a veces se la denomina con la letra \(m\) también) y \(b\) la ordenada al origen (el punto en donde la recta interseca al eje de las ordenadas).
   Para la recta que contiene a \(\vec{AB}\) hallaremos la pendiente \(a_1\) y la ordenada al origen \(b_1\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_1=a_1x+b_1\)

   • Recta que contiene a \(\vec{AB}\)
     Del vector libre de \(\vec{AB}\) podemos obtener la pendiente \(a_1\) de la recta que lo contiene. Mostrar pasos intermedios
     $$\vec{AB}=(\vec{AB_x};\vec{AB_y})=\vec B-\vec A=(13;11)-(1;3)=(12;8)$$ La pendiente se calcula mediante la siguiente fórmula: $$a_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ Al ser un vector libre, el origen de coordenadas cartesianas coincide con el origen del vector. Por consiguiente podemos plantear: $$a_1=\frac{\vec{AB_y}-0}{\vec{AB_x}-0}=\frac yx=\frac8{12}$$
     $$a_1=\frac23$$ Ahora calcularemos la pendiente al origen \(b_1\). Con la pendiente de una recta y un punto que pertenece a ella podemos construir la ecuación de la misma. Como tenemos dos puntos para elegir, cualquiera de los dos que elijamos nos conducirá a la solución. Exploramos las dos alternativas:
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(A:(1;3)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$3=\frac231+b_1$$ $$3=\frac23+b_1$$ $$b_1=3-\frac23$$ $$b_1=\frac93-\frac23=\frac{9-2}3$$
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(B:(13;11)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$11=\frac2313+b_1$$ $$11=\frac{26}3+b_1$$ $$b_1=11-\frac{26}3$$ $$b_1=\frac{33}3-\frac{26}3=\frac{33-26}3$$
     $$b_1=\frac73$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) es \(y_1=\frac23x+\frac73\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   • Recta que contiene a \(\vec{DC}\)
     Para la recta que contiene a \(\vec{DC}\) hallaremos la pendiente \(a_2\) y la ordenada al origen \(b_2\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_2=a_2x+b_2\)
     El vector \(\vec{DC}\) es perpendicular a \(\vec{AB}\) por lo tanto la pendiente \(a_2\) es: Mostrar por qué
     Porque la relación entre la pendiente de una recta y otra perpendicular a ella es \(a_{\perp}=-\frac1a\) $$a_2=-\frac1{a_1}=-\frac1{\frac23}=-\frac1{\frac23}\frac{\frac32}{\frac32}$$
     $$a_2=-\frac32$$ La ordenada al origen de \(b_2\) es:
     Mostrar por qué
     Utilizando el punto \(C:(6;15)\), que sabemos pertenece a la recta que contiene a dicho vector, calculamos \(b_2\): $$y_2=a_2x+b_2$$ $$15=-\frac326+b_2$$ $$15=-\frac{18}2+b_2$$ $$b_2=15+\frac{18}2$$ $$b_2=\frac{30}2+\frac{18}2=\frac{48}2$$
     $$b_2=24$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{CD}\) es \(y_2=-\frac32x+24\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   
   Mostrar resultado
   Recta que contiene a \(\vec{AB}\): \(-2x+3y-7=0\)
   Recta que contiene a \(\vec{DC}\): \(-3x-2y+48=0\)
   
   
2. Dar las coordenadas del punto \(D\)
   Mostrar resolución
   El punto \(D\) pertenece a ambas rectas, por consiguiente podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de dicho punto: $$\cases{y_1=\frac23x+\frac73 \cr y_2=-\frac32x+24}$$ En \(D\), \(y_1=y_2\), por consiguiente: $$\frac23x+\frac73=-\frac32x+24$$ Luego se deduce que la abscisa del punto \(D\) es:
   Mostrar pasos intermedios

   $$\left(\frac23+\frac32\right)x=24-\frac73$$ $$\frac{4+9}6x=\frac{72}3-\frac73$$ $$\frac{13}6x=\frac{65}3$$ $$\frac{13}2x=65$$ $$x=\frac{130}{13}$$

   $$D_x=10$$ Luego, la ordenada del punto \(D\) es:
   Mostrar por qué

   La ordenada del punto \(D\) se calcula reemplazando el valor hallado de \(D_x\) en \(y_1\) o bien en \(y_2\).

   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_1\)
     $$D_y=\frac23(10)+\frac73$$ $$D_y=\frac{20}3+\frac73$$ $$D_y=\frac{27}3$$
   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_2\)
     $$D_y=-\frac32(10)+24$$ $$D_y=-\frac{30}3+24$$ $$D_y=-15+24$$

   $$D_y=9$$
   
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   \(D:(10; 9)\)
   
   

16 T \(e^{mperatura}\)

Matemática aplicada a la Medicina
Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en \(°C\)) \(t\) horas después de haberles suministrado cierta droga se rige por la ley: $$T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ ¿En qué tiempo se alcanza la temperatura máxima y cuál es esa temperatura?
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Utilizaremos el método de la primera y segunda derivada para encontrar puntos críticos y máximos / mínimos respectivamente.

1. Primero derivamos la función notando que la operación principal es \(e^x\) siendo \(x\) todo lo que está en el exponente del número \(e\). Haremos uso de la regla de la cadena también para derivar esta función.
   Mostrar pasos intermedios
   $$\frac d {dt}(T)=\frac d {dt}\left(37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)$$ $$\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \frac d {dt} \left( -\frac {(t-2)^2} 2 \right)$$
   $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)$$
2. Ahora analizamos qué valores anulan la primera derivada para determinar los puntos críticos (candidatos a máximos y mínimos): $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)=0$$ Claramente se puede comprobar que esta expresión únicamente se anula en \(t=2\) porque, por muy compleja que pueda resultar la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará valores iguales a cero, incluso tampoco tomará valores negativos. Mostrar por qué.
   Simplificando la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) obtenemos \(\frac 1 {e^{\frac {(t-2)^2} 2}}\). Aquí, la expresión \(\frac {(t-2)^2} 2\) tomará el valor cero en \(t=0\), pero cualquier número elevado a la cero da 1, por definición y en ese caso \(e^0\) no anulará el denominador. Por consiguiente, independientemente del valor de la variable \(t\) la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará el valor cero.
   Gráficamente, observemos la función \(f_{(t)}=e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) que evidencia lo que analíticamente hemos mencionado:
   
   

   
   
   
3. Ahora derivamos una vez más la función para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo, recordando que, si la derivada segunda evaluada en el punto crítico toma valores positivos, estamos en presencia de un mínimo en dicho punto. Por el contrario, si el valor de la derivada segunda en el punto crítico es negativo, entonces estamos en presencia de un máximo.
   Mostrar pasos intermedios
   $$\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)$$ La operación principal es una multiplicación, así que primero aplicamos la regla de la multiplicación para derivar. $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)+\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\frac d {dt}\left(\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\underbrace {\frac 1 4 e^{\frac {(t-2)^2} 2}}_{\text {ya calculado}}(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ $${\left(\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)\right)}_{(2)}=\underbrace{-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1\underbrace{(2-2)}_{0}}_0-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1$$
   $${\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-\frac 1 4$$ Por consiguiente, al hallar que la derivada segunda de la función evaluada en el punto crítico \(t=2\) toma un valor negativo \({\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-0,25\) entonces podemos afirmar que en dicho punto, la función \(T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) toma el máximo valor posible.
   
   La temperatura máxima que alcanza el paciente al cabo de \(2\) horas es: $$T_{(2)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(2-2)^2} 2}=37+\frac 1 4 e^0=37+\frac 1 4=37,25\ °C$$

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En dos horas y \(37,25\ °C\)

15 Asíntota Fantasma

Límite para el Cálculo de Asíntotas

Calcular todas las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiere, de: $$f_{(x)}=\frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}$$
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• Asíntotas Verticales
  En una función racional, para averiguar puntos candidatos a asíntotas horizontales debemos centrarnos en aquellos puntos del dominio de la función que anulen el denominador. En este caso el denominador nunca se hará nulo, pues un número elevado al cuadrado siempre es positivo y, en el caso de que sea cero, al sumarle uno siempre será un número positivo (ver gráfica de \(x^2+1\)). Por ello, el radicando siempre será mayor que uno y, por ende, el radical (ver gráfica de \(\sqrt {(x^2+1)}\)) siempre serán valores distintos de cero y, en particular, positivos mayores o iguales que uno.
  Por extensión, no existen asíntotas verticales.
  
• Asíntotas Horizontales
  Para determinar que es una asíntota horizontal se debe verificar una de las dos condiciones siguientes:
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=l\) $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2(1+\frac 1 {x^2})}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}}=$$ $$=\frac 2 {\sqrt{1+0^+}}=\frac 2 {\sqrt {1^+}}=\frac 2 {1^+} = 2$$ De esta manera en \(y=2\) hay una asíntota horizontal.
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=l\)
     Siguiendo los mismos pasos que para el límite a \(+\infty\) obtenemos el mismo resultado, asíntota horizontal en \(y=2\)
  
  Pero, si observamos la gráfica de la función (ver gráfica) podemos apreciar que existirían dos asíntotas horizontales: una en \(y=2\) (la cual corroboramos) y otra en \(y=-2\). Entonces... ¿dónde estuvo el error? ( ver dónde estuvo el error
  El error estuvo en la siguiente simplificación: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ No se consideró la definición de la función módulo \(|x|=\sqrt{x^2}\) en la expresión resultante.
  Debió hacerse lo siguiente: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{|x| \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ Y a partir de allí, considerar los siguientes límites:

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac {2x}{-x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
     A partir de aquí, puede comprobarse fácilmente como "aparece" la asíntota "fantasma" ;) \(y=-2\)
  ) ¿por qué en el límite a \(-\infty\) no obtuvimos la asíntota horizontal \(y=-2\)?

Mostrar resultado

• No tiene asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales
  • \(y=2\)
  • \(y=-2\)