16 T \(e^{mperatura}\)

Matemática aplicada a la Medicina
Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en \(°C\)) \(t\) horas después de haberles suministrado cierta droga se rige por la ley: $$T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ ¿En qué tiempo se alcanza la temperatura máxima y cuál es esa temperatura?
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Utilizaremos el método de la primera y segunda derivada para encontrar puntos críticos y máximos / mínimos respectivamente.

1. Primero derivamos la función notando que la operación principal es \(e^x\) siendo \(x\) todo lo que está en el exponente del número \(e\). Haremos uso de la regla de la cadena también para derivar esta función.
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   $$\frac d {dt}(T)=\frac d {dt}\left(37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)$$ $$\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \frac d {dt} \left( -\frac {(t-2)^2} 2 \right)$$
   $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)$$
2. Ahora analizamos qué valores anulan la primera derivada para determinar los puntos críticos (candidatos a máximos y mínimos): $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)=0$$ Claramente se puede comprobar que esta expresión únicamente se anula en \(t=2\) porque, por muy compleja que pueda resultar la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará valores iguales a cero, incluso tampoco tomará valores negativos. Mostrar por qué.
   Simplificando la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) obtenemos \(\frac 1 {e^{\frac {(t-2)^2} 2}}\). Aquí, la expresión \(\frac {(t-2)^2} 2\) tomará el valor cero en \(t=0\), pero cualquier número elevado a la cero da 1, por definición y en ese caso \(e^0\) no anulará el denominador. Por consiguiente, independientemente del valor de la variable \(t\) la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará el valor cero.
   Gráficamente, observemos la función \(f_{(t)}=e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) que evidencia lo que analíticamente hemos mencionado:
   
   

   
   
   
3. Ahora derivamos una vez más la función para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo, recordando que, si la derivada segunda evaluada en el punto crítico toma valores positivos, estamos en presencia de un mínimo en dicho punto. Por el contrario, si el valor de la derivada segunda en el punto crítico es negativo, entonces estamos en presencia de un máximo.
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   $$\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)$$ La operación principal es una multiplicación, así que primero aplicamos la regla de la multiplicación para derivar. $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)+\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\frac d {dt}\left(\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\underbrace {\frac 1 4 e^{\frac {(t-2)^2} 2}}_{\text {ya calculado}}(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ $${\left(\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)\right)}_{(2)}=\underbrace{-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1\underbrace{(2-2)}_{0}}_0-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1$$
   $${\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-\frac 1 4$$ Por consiguiente, al hallar que la derivada segunda de la función evaluada en el punto crítico \(t=2\) toma un valor negativo \({\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-0,25\) entonces podemos afirmar que en dicho punto, la función \(T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) toma el máximo valor posible.
   
   La temperatura máxima que alcanza el paciente al cabo de \(2\) horas es: $$T_{(2)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(2-2)^2} 2}=37+\frac 1 4 e^0=37+\frac 1 4=37,25\ °C$$

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En dos horas y \(37,25\ °C\)