15 Asíntota Fantasma

Límite para el Cálculo de Asíntotas

Calcular todas las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiere, de: $$f_{(x)}=\frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}$$
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• Asíntotas Verticales
  En una función racional, para averiguar puntos candidatos a asíntotas horizontales debemos centrarnos en aquellos puntos del dominio de la función que anulen el denominador. En este caso el denominador nunca se hará nulo, pues un número elevado al cuadrado siempre es positivo y, en el caso de que sea cero, al sumarle uno siempre será un número positivo (ver gráfica de \(x^2+1\)). Por ello, el radicando siempre será mayor que uno y, por ende, el radical (ver gráfica de \(\sqrt {(x^2+1)}\)) siempre serán valores distintos de cero y, en particular, positivos mayores o iguales que uno.
  Por extensión, no existen asíntotas verticales.
  
• Asíntotas Horizontales
  Para determinar que es una asíntota horizontal se debe verificar una de las dos condiciones siguientes:
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=l\) $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2(1+\frac 1 {x^2})}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}}=$$ $$=\frac 2 {\sqrt{1+0^+}}=\frac 2 {\sqrt {1^+}}=\frac 2 {1^+} = 2$$ De esta manera en \(y=2\) hay una asíntota horizontal.
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=l\)
     Siguiendo los mismos pasos que para el límite a \(+\infty\) obtenemos el mismo resultado, asíntota horizontal en \(y=2\)
  
  Pero, si observamos la gráfica de la función (ver gráfica) podemos apreciar que existirían dos asíntotas horizontales: una en \(y=2\) (la cual corroboramos) y otra en \(y=-2\). Entonces... ¿dónde estuvo el error? ( ver dónde estuvo el error
  El error estuvo en la siguiente simplificación: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ No se consideró la definición de la función módulo \(|x|=\sqrt{x^2}\) en la expresión resultante.
  Debió hacerse lo siguiente: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{|x| \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ Y a partir de allí, considerar los siguientes límites:

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac {2x}{-x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
     A partir de aquí, puede comprobarse fácilmente como "aparece" la asíntota "fantasma" ;) \(y=-2\)
  ) ¿por qué en el límite a \(-\infty\) no obtuvimos la asíntota horizontal \(y=-2\)?

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• No tiene asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales
  • \(y=2\)
  • \(y=-2\)