17 Vectores Perpendiculares

Rectas que contienen a vectores perpendiculares

Dados los siguientes puntos y vectores:

1. Hallar la ecuación general de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) y a \(\vec{DC}\)
   Mostrar resolución
   Recordamos que la ecuación de una recta tiene la siguiente forma: \(y=ax+b\), siendo \(a\) la pendiente (a veces se la denomina con la letra \(m\) también) y \(b\) la ordenada al origen (el punto en donde la recta interseca al eje de las ordenadas).
   Para la recta que contiene a \(\vec{AB}\) hallaremos la pendiente \(a_1\) y la ordenada al origen \(b_1\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_1=a_1x+b_1\)

   • Recta que contiene a \(\vec{AB}\)
     Del vector libre de \(\vec{AB}\) podemos obtener la pendiente \(a_1\) de la recta que lo contiene. Mostrar pasos intermedios
     $$\vec{AB}=(\vec{AB_x};\vec{AB_y})=\vec B-\vec A=(13;11)-(1;3)=(12;8)$$ La pendiente se calcula mediante la siguiente fórmula: $$a_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ Al ser un vector libre, el origen de coordenadas cartesianas coincide con el origen del vector. Por consiguiente podemos plantear: $$a_1=\frac{\vec{AB_y}-0}{\vec{AB_x}-0}=\frac yx=\frac8{12}$$
     $$a_1=\frac23$$ Ahora calcularemos la pendiente al origen \(b_1\). Con la pendiente de una recta y un punto que pertenece a ella podemos construir la ecuación de la misma. Como tenemos dos puntos para elegir, cualquiera de los dos que elijamos nos conducirá a la solución. Exploramos las dos alternativas:
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(A:(1;3)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$3=\frac231+b_1$$ $$3=\frac23+b_1$$ $$b_1=3-\frac23$$ $$b_1=\frac93-\frac23=\frac{9-2}3$$
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(B:(13;11)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$11=\frac2313+b_1$$ $$11=\frac{26}3+b_1$$ $$b_1=11-\frac{26}3$$ $$b_1=\frac{33}3-\frac{26}3=\frac{33-26}3$$
     $$b_1=\frac73$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) es \(y_1=\frac23x+\frac73\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   • Recta que contiene a \(\vec{DC}\)
     Para la recta que contiene a \(\vec{DC}\) hallaremos la pendiente \(a_2\) y la ordenada al origen \(b_2\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_2=a_2x+b_2\)
     El vector \(\vec{DC}\) es perpendicular a \(\vec{AB}\) por lo tanto la pendiente \(a_2\) es: Mostrar por qué
     Porque la relación entre la pendiente de una recta y otra perpendicular a ella es \(a_{\perp}=-\frac1a\) $$a_2=-\frac1{a_1}=-\frac1{\frac23}=-\frac1{\frac23}\frac{\frac32}{\frac32}$$
     $$a_2=-\frac32$$ La ordenada al origen de \(b_2\) es:
     Mostrar por qué
     Utilizando el punto \(C:(6;15)\), que sabemos pertenece a la recta que contiene a dicho vector, calculamos \(b_2\): $$y_2=a_2x+b_2$$ $$15=-\frac326+b_2$$ $$15=-\frac{18}2+b_2$$ $$b_2=15+\frac{18}2$$ $$b_2=\frac{30}2+\frac{18}2=\frac{48}2$$
     $$b_2=24$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{CD}\) es \(y_2=-\frac32x+24\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   
   Mostrar resultado
   Recta que contiene a \(\vec{AB}\): \(-2x+3y-7=0\)
   Recta que contiene a \(\vec{DC}\): \(-3x-2y+48=0\)
   
   
2. Dar las coordenadas del punto \(D\)
   Mostrar resolución
   El punto \(D\) pertenece a ambas rectas, por consiguiente podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de dicho punto: $$\cases{y_1=\frac23x+\frac73 \cr y_2=-\frac32x+24}$$ En \(D\), \(y_1=y_2\), por consiguiente: $$\frac23x+\frac73=-\frac32x+24$$ Luego se deduce que la abscisa del punto \(D\) es:
   Mostrar pasos intermedios

   $$\left(\frac23+\frac32\right)x=24-\frac73$$ $$\frac{4+9}6x=\frac{72}3-\frac73$$ $$\frac{13}6x=\frac{65}3$$ $$\frac{13}2x=65$$ $$x=\frac{130}{13}$$

   $$D_x=10$$ Luego, la ordenada del punto \(D\) es:
   Mostrar por qué

   La ordenada del punto \(D\) se calcula reemplazando el valor hallado de \(D_x\) en \(y_1\) o bien en \(y_2\).

   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_1\)
     $$D_y=\frac23(10)+\frac73$$ $$D_y=\frac{20}3+\frac73$$ $$D_y=\frac{27}3$$
   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_2\)
     $$D_y=-\frac32(10)+24$$ $$D_y=-\frac{30}3+24$$ $$D_y=-15+24$$

   $$D_y=9$$
   
   Mostrar resultado
   \(D:(10; 9)\)