16 T \(e^{mperatura}\)

Matemática aplicada a la Medicina
Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en \(°C\)) \(t\) horas después de haberles suministrado cierta droga se rige por la ley: $$T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ ¿En qué tiempo se alcanza la temperatura máxima y cuál es esa temperatura?
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Utilizaremos el método de la primera y segunda derivada para encontrar puntos críticos y máximos / mínimos respectivamente.

1. Primero derivamos la función notando que la operación principal es \(e^x\) siendo \(x\) todo lo que está en el exponente del número \(e\). Haremos uso de la regla de la cadena también para derivar esta función.
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   $$\frac d {dt}(T)=\frac d {dt}\left(37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)$$ $$\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \frac d {dt} \left( -\frac {(t-2)^2} 2 \right)$$
   $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)$$
2. Ahora analizamos qué valores anulan la primera derivada para determinar los puntos críticos (candidatos a máximos y mínimos): $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)=0$$ Claramente se puede comprobar que esta expresión únicamente se anula en \(t=2\) porque, por muy compleja que pueda resultar la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará valores iguales a cero, incluso tampoco tomará valores negativos. Mostrar por qué.
   Simplificando la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) obtenemos \(\frac 1 {e^{\frac {(t-2)^2} 2}}\). Aquí, la expresión \(\frac {(t-2)^2} 2\) tomará el valor cero en \(t=0\), pero cualquier número elevado a la cero da 1, por definición y en ese caso \(e^0\) no anulará el denominador. Por consiguiente, independientemente del valor de la variable \(t\) la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará el valor cero.
   Gráficamente, observemos la función \(f_{(t)}=e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) que evidencia lo que analíticamente hemos mencionado:
   
   

   
   
   
3. Ahora derivamos una vez más la función para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo, recordando que, si la derivada segunda evaluada en el punto crítico toma valores positivos, estamos en presencia de un mínimo en dicho punto. Por el contrario, si el valor de la derivada segunda en el punto crítico es negativo, entonces estamos en presencia de un máximo.
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   $$\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)$$ La operación principal es una multiplicación, así que primero aplicamos la regla de la multiplicación para derivar. $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)+\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\frac d {dt}\left(\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\underbrace {\frac 1 4 e^{\frac {(t-2)^2} 2}}_{\text {ya calculado}}(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ $${\left(\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)\right)}_{(2)}=\underbrace{-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1\underbrace{(2-2)}_{0}}_0-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1$$
   $${\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-\frac 1 4$$ Por consiguiente, al hallar que la derivada segunda de la función evaluada en el punto crítico \(t=2\) toma un valor negativo \({\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-0,25\) entonces podemos afirmar que en dicho punto, la función \(T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) toma el máximo valor posible.
   
   La temperatura máxima que alcanza el paciente al cabo de \(2\) horas es: $$T_{(2)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(2-2)^2} 2}=37+\frac 1 4 e^0=37+\frac 1 4=37,25\ °C$$

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En dos horas y \(37,25\ °C\)

14 "T" resuelvo

Matemática aplicada a la Cinemática

Un móvil parte del reposo desde A hacia B hasta alcanzar la velocidad de 25 m/s en T segundos. Luego se dirige hacia C con velocidad constante por el lapso de 4T s. A partir de allí finaliza su recorrido en D volviendo al reposo en 2T s más. Si recorrió 3.850 m, trace la gráfica de velocidad en función del tiempo para los tres tramos y calcule T.
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Gráfica de velocidad en función del tiempo:

1. Resolución gráfica (mostrar resolución gráfica)
   Sin duda, la forma más fácil de resolver este ejercicio.
   Recordemos que el área debajo de la curva de velocidad en función del tiempo (en este caso un trapecio - mostrar área de un trapecio

   Área de un trapecio = \(\frac {B+b} {2} h\), donde "B" es base mayor, "b" es base menor y "h" es la altura del trapecio

   ) es la distancia recorrida por el móvil; así que sólo debemos plantear la siguiente ecuación y despejar "T" para resolver el problema: $$\frac {7\ T+4\ T}{2}25\frac m s= 3.850\ m$$ $$\frac {11\ T}{2}=\frac {3.850\ m}{25\frac m s}$$ $$11\ T=2\frac {3.850}{25}m\frac s m$$ $$T=\frac {308}{11}s$$ $$T=28\ s$$
2. Resolución analítica (mostrar resolución analítica)
   Esta forma de resolución es más laboriosa que la resolución gráfica, pero representa un desafío más que interesante desde el punto de vista físico y matemático.
   
   Al final del movimiento (en el punto D) y luego de transcurridos \(7T\) segundos se verifica $$X_D=3.850m$$ Pero, antes a los \(5T\) segundos el móvil se hallaba en el punto C, y a \(T\) segundos se hallaba en el punto B, por consiguiente la posición en el punto D, \(X_D\), depende de las posiciones del móvil en el punto C \(X_C\) y en el punto B \(X_B\).
   Antes de continuar, tenga en cuenta que cuando se hace referencia a \(t\) (en minúscula) se refiere a la variable tiempo, mientras que \(T\) (en mayúscula) se refiere al valor que tenemos que averiguar.
   

   • \(X_B\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo A-B, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{A-B(t)}=\overbrace{X_A}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_A}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(A-B)}\Delta t^2$$ $$X_{A-B(t)}=X_A+V_A(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(A-B)}(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})^2$$ Como el móvil parte del reposo, la posición, la velocidad inicial y el tiempo son nulos. Por consiguiente, la ecuación se reduce a: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 a_{(A-B)}t^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(A-B)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_B - V_A}{t_B - t_A}=\frac {25\frac m s - 0\frac m s}{T s - 0 s}=\frac {25} T \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 \frac {25} T \frac m {s^2} t^2$$ Ahora bien, en el punto B, al final de este tramo, transcurridos \(T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{A-B(T)}=\frac {25} 2 \frac m {s^2} \frac {T^2}{T}$$ Simplificando:
     $$X_B=12,5\frac m s T$$
   • \(X_C\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo B-C, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme - MRU
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{B-C(t)}=\overbrace {X_B}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_B}^{vel.\ inicial}\Delta t$$ $$X_{B-C(t)}=X_B+\underbrace {25\frac m s}_{dato} (t-\underbrace {t_B}_{T\ s})$$ Entonces, la ecuación de posición en función del tiempo de este tramo queda: $$X_{B-C(t)}=X_B+25\frac m s (t-T)$$ Ahora bien, en el punto C, al final de este tramo, transcurridos \(5T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s (5T-T)$$ $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s 4T$$ Simplificando:
     $$X_C=X_B+100\frac m s T$$
   • \(X_D\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo C-D, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{C-D(t)}=\overbrace{X_C}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_C}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(C-D)}\Delta t^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+V_C(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-5T)^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(C-D)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_D - V_C}{t_D - t_C}=\frac {0\frac m s - 25\frac m s}{7T s - 5T s}=-\frac {25} {2T} \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(t-5T)^2$$ Ahora bien, en el punto D, al final de este tramo, transcurridos 7T segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s (7T-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(7T-5T)^2$$ $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s 2T-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(2T)^2$$ Simplificando:
     $$X_D=X_C+50\frac m s T-25\frac m s T$$
   • Cálculo de \(T\)
     $$X_D=3.850m$$ $$X_D=\underbrace {\overbrace {12,5\frac m s T}^{X_B}+100\frac m s T}_{X_C}+50\frac m s T-25\frac m s T=3.850m$$ $$137,5\frac m s T=3.850m$$ $$T=\frac {3.850m} {137,5\frac m s }$$ $$T=28s$$

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$$T=28s$$ Gráfica de velocidad en función del tiempo:

Guilloche o guilloché

Matemática en el papel moneda

Es una técnica decorativa de grabados de patrones de diseño repetitivos, complejos y de alta precisión que se utilizan en diferentes sustratos tales como metales y principalmente papel. Se utilizan en documentos y especies valoradas dado que su realización artesanal es dificultosa, desalentando así la copia por este medio. Sus principales aplicaciones son documentos de seguridad gráfica tales como billetes, pasaportes y documentos varios (documentos de identificación, títulos de propiedad, certificados, diplomas, documentos fiscales, legales, jurídicos, etc.)

Los guilloches pueden representarse mediante curvas que describen puntos que se ubican sobre un eje radial de una circunferencia que se desplaza sobre otras curvas. Estos puntos pueden ser interiores a la circunferencia, exteriores o bien pueden estar sobre ella. Y la curva sobre la que se desplazan pueden ser rectas, el interior o exterior de otra circunferencia y, en general cualquier otra curva.

Partiendo de este concepto, si ahora pensamos en una figura geométrica diferente que rueda sin deslizarse sobre otra curva cualquiera, las posibilidades son infinitas. Imaginemos por ejemplo un punto sobre una elipse (o mejor aún, un punto en el interior o exterior a la misma) describiendo una curva mientras se desliza por fuera de otra elipse o por dentro de una circunferencia.
Para pensar les dejo la idea de cómo podríamos aplicar todos estos conceptos en un espacio tridimensional, considerando puntos que describan curvas tridimensionales al deslizarse sobre otras superficies o inclusos otros cuerpos tridimensionales; o mejor aún reemplazar el punto con figuras bidimensionales que describan cuerpos o superficies de revolución / rotación conforme el cuerpo tridimensional se deslice sobre otra curva u otro cuerpo tridimensional. ¿Para qué podría ser útil esto?