15 Asíntota Fantasma

Límite para el Cálculo de Asíntotas

Calcular todas las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiere, de: $$f_{(x)}=\frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}$$
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• Asíntotas Verticales
  En una función racional, para averiguar puntos candidatos a asíntotas horizontales debemos centrarnos en aquellos puntos del dominio de la función que anulen el denominador. En este caso el denominador nunca se hará nulo, pues un número elevado al cuadrado siempre es positivo y, en el caso de que sea cero, al sumarle uno siempre será un número positivo (ver gráfica de \(x^2+1\)). Por ello, el radicando siempre será mayor que uno y, por ende, el radical (ver gráfica de \(\sqrt {(x^2+1)}\)) siempre serán valores distintos de cero y, en particular, positivos mayores o iguales que uno.
  Por extensión, no existen asíntotas verticales.
  
• Asíntotas Horizontales
  Para determinar que es una asíntota horizontal se debe verificar una de las dos condiciones siguientes:
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=l\) $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2(1+\frac 1 {x^2})}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}}=$$ $$=\frac 2 {\sqrt{1+0^+}}=\frac 2 {\sqrt {1^+}}=\frac 2 {1^+} = 2$$ De esta manera en \(y=2\) hay una asíntota horizontal.
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=l\)
     Siguiendo los mismos pasos que para el límite a \(+\infty\) obtenemos el mismo resultado, asíntota horizontal en \(y=2\)
  
  Pero, si observamos la gráfica de la función (ver gráfica) podemos apreciar que existirían dos asíntotas horizontales: una en \(y=2\) (la cual corroboramos) y otra en \(y=-2\). Entonces... ¿dónde estuvo el error? ( ver dónde estuvo el error
  El error estuvo en la siguiente simplificación: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ No se consideró la definición de la función módulo \(|x|=\sqrt{x^2}\) en la expresión resultante.
  Debió hacerse lo siguiente: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{|x| \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ Y a partir de allí, considerar los siguientes límites:

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac {2x}{-x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
     A partir de aquí, puede comprobarse fácilmente como "aparece" la asíntota "fantasma" ;) \(y=-2\)
  ) ¿por qué en el límite a \(-\infty\) no obtuvimos la asíntota horizontal \(y=-2\)?

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• No tiene asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales
  • \(y=2\)
  • \(y=-2\)

13 - Inecuación de módulos

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los valores de \(x\) que satisfacen la inecuación \(|3x-1|<|x-4|\) Resolver:

1. Gráficamente (mostrar resolución gráfica)
   Graficamos las dos funciones módulo y la solución serán todos los valores del dominio en los cuales las imágenes de la función módulo de la izquierda "está por debajo" de las imágenes de la función módulo de la derecha (región sombreada).
   
   

   

   
   
2. Analíticamente (mostrar resolución analítica)
   Elevamos al cuadraro ambos miembros de la desigualdad: \(|3x-1|^2<|x-4|^2\)
   O, lo que es lo mismo en este caso: \((3x-1)^2<(x-4)^2\)
   Desarrollamos los cuadrados: $$(3x)^2+2(3x)(-1)+(-1)^2\lt x^2+2(x)(-4)+(-4)^2$$ $$9x^2-6x+1\lt x^2-8x+16$$ $$9x^2-x^2-6x+8x+1-16\lt 0$$ $$8x^2+2x-15\lt 0$$ Hallemos las raíces para escribir esta cuadrática en su forma factorizada y poder realizar un mejor análisis. Para ello, primero calculamos las raíces de esta cuadrática (mostrar la fórmula para calcular las raíces de una cuadrática).

   $$x_{1;2}=\frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Para nuestro problema \(a=8\), \(b=2\) y \(c=-15\)
   
   

   $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{2^2-4(8)(-15)}}{2(8)}$$ $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{484}}{16}$$ $$\eqalign{ x_1 &= \frac {-2-22}{16} &= \frac {-24}{16} &= -\frac {3}{2}\cr x_2 &= \frac {-2+22}{16} &= \frac {20}{16} &= \frac {5}{4} }$$ Reescribiendo la ecuación a su forma factorizada tenemos: $$8\left (x+\frac {3}{2}\right )\left (x-\frac {5}{4}\right )<0$$ Llegado este punto podemos realizar un nuevo análisis gráfico (mostrar resolución gráfica)

   Veamos la gráfica y observemos que los valores del dominio de esta función que hacen que la misma tome valores negativos serán los puntos solución de nuestro problema.
   
   

   

   
   

   o analítico (mostrar resolución analítica)

   Aquí debemos analizar los signos de cada multiplicando para determinar cuándo la función toma valores positivos y cuándo negativos. A la constante 8 la excluiremos del análisis dado que es un valor constante y de signo positivo. Por consiguiente queda analizar qué pasa con el signo de esta cuadrática si \(x\lt -\frac {3}{2}\), si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) y si \(x\gt \frac {5}{4}\).

   • Si \(x\lt -\frac {3}{2}\)
     Por un lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x+\frac {3}{2}\lt 0\).
     Por otro lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x-\frac {5}{4}\lt -\frac {3}{2}-\frac {5}{4}=-\frac {11}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(x\lt -\frac {3}{2}\) ambos multiplicandos son negativos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies 0\lt x+\frac {3}{2}\lt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\).
     Por otro lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies -\frac {11}{4}=-\frac {3}{2}-\frac {5}{4}\lt x-\frac {5}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) tenemos que \(x+\frac {3}{2}\) es positivo y \(x-\frac {5}{4}\) es negativo; por ende, la cuadrática toma valores negativos para este intervalo. Por lo tanto todos estos valores son solución de nuestro ejercicio pues verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(x\gt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x-\frac {5}{4}\gt 0\).
     Por otro lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x+\frac {3}{2}\gt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\gt 0\).
     Entonces, para \(x\gt \frac {5}{4}\) ambos multiplicandos son positivos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     

   para determinar que el conjunto solución es \(S=\left\lbrace x/x\ \epsilon R\land -\frac {3}{2} \lt x \lt \frac {5}{4}\right\rbrace \)
   

11 - Explícita mente

Fuente: Práctica 2, Análisis Matemático I, Ingeniería Electrónica, Universidad Nacional de Moreno.

Escribir en forma explícita las funciones dadas por las siguientes ecuaciones:

• \(x^2-arccos(y)=\pi\)
• \(10^x+10^y=10\) (mostrar resolución)
  $$10^y=10-10^x$$ $$\log(10^y)=\log(10-10^x)$$ $$y\ .\ \log(10)=\log(10-10^x)$$ $$y=\log(10-10^x)$$ ¿Para qué valores de \(x\) está definida esta función?
  
  
• \(x+|y|=2y\) (mostrar resolución)
  Por definición de módulo (mostrar definición de módulo)

  $$|x| = \cases{ x & \text{si } x\ge 0\cr -x & \text{si } x\lt 0 }$$

  se puede escribir la siguiente función por partes: $$f_{(x)}=\cases{ x+y=2y & \text{si } y\ge 0\cr x-y=2y & \text{si } y\lt 0 }$$ Por consiguiente, se tiene: $$f_{(x)}=\cases{ y=x & \text{si } y\ge 0\cr y=\frac x 3 & \text{si } y\lt 0 }$$ De la primera y segunda ecuación se deduce: $$0\le y=x$$ $$0\gt y=\frac x 3$$ Por transitividad nos quedamos con los extremos de estas últimas dos expresiones y escribimos la solución del problema: $$f_{(x)}= \cases{ x & \text{si } x\ge 0\cr \frac x 3 & \text{si } x\lt 0 }$$
  

8 - Módulo de la mantisa

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los conjuntos de negatividad, ceros o raíces de la función y positividad de la función módulo de la mantisa \(|x-\lfloor x\rfloor|\)

(mostrar resolución)

Ésta es una función que devuelve sólo valores positivos, más precisamente la parte no entera del argumento, tal como podemos observar en la representación gráfica.
\(C^-=\{\varnothing\}\) (mostrar por qué)

Por lo expuesto y observando la gráfica, la función no devuelve valores negativos, por lo tanto, el conjunto de negatividad es vacío.

\(C^0=\{x\,|\,x\in\Bbb Z\}\) (mostrar por qué)

Para todos los valores del dominio enteros, es decir, que no poseen mantisa, la función devuelve el valor cero.

\(C^+=\Bbb R-C^0\) (mostrar por qué)

Todos los puntos del dominio, exceptuando los enteros, pertenecen al conjunto de positividad.