8 - Módulo de la mantisa

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los conjuntos de negatividad, ceros o raíces de la función y positividad de la función módulo de la mantisa \(|x-\lfloor x\rfloor|\)

(mostrar resolución)

Ésta es una función que devuelve sólo valores positivos, más precisamente la parte no entera del argumento, tal como podemos observar en la representación gráfica.
\(C^-=\{\varnothing\}\) (mostrar por qué)

Por lo expuesto y observando la gráfica, la función no devuelve valores negativos, por lo tanto, el conjunto de negatividad es vacío.

\(C^0=\{x\,|\,x\in\Bbb Z\}\) (mostrar por qué)

Para todos los valores del dominio enteros, es decir, que no poseen mantisa, la función devuelve el valor cero.

\(C^+=\Bbb R-C^0\) (mostrar por qué)

Todos los puntos del dominio, exceptuando los enteros, pertenecen al conjunto de positividad.

7 - Mantisa

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Esquema General del Análisis de Funciones (Prezi)

La función mantisa \(x-\lfloor x\rfloor\) ¿es una función par o impar? (mostrar respuesta)

Ésta es una función trascendental porque trasciende el álgebra y devuelve el valor no entero del argumento. Su representación gráfica es:

La función mantisa es una función impar pues se verifica que \(f_{(-x)}=-f_{(x)}\) $$f_{(x)}=x-\lfloor x\rfloor$$ $$f_{(-x)}=-x-\lfloor -x\rfloor=-x+\lfloor x\rfloor=-(x-\lfloor x\rfloor)=-f_{(x)}$$ Y, al ser una función impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas.

¿es una función periódica? (mostrar respuesta)

Una función es periódica si se verifica que \(f_{(x+P)}=f_{(x)}\ \) siendo P el mínimo valor de un conjunto de números positivos para los cuales se verifica la igualdad. Dicho esto, analicemos la periodicidad de la función mantisa: $$¿f_{(x+P)}=f_{(x)}?$$ $$¿x+P-\lfloor x+P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor?$$ $$x-\lfloor x\rfloor +P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor$$ $$P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor -(x-\lfloor x\rfloor)$$ $$P-\lfloor P\rfloor=0$$ $$P=\lfloor P\rfloor$$ Y esto se verifica para todos los números que no posean mantisa, es decir, para cuando \(P\) es igual a 1, 2, 3 y en general para todos los números naturales. Por lo tanto la función mantisa es periódica y su período es 1.
Notemos que esta igualdad se verifica también para todos los números negativos, e incluso para el valor cero. Por consiguiente, ¿que podemos decir acerca de la periodicidad de esta función a derecha e izquierda respecto del eje de ordenadas?