21 Triángulo 3D "Vectorizado"

Fuente: Cuadernillo de Ejercitación de Matemática I de UNM, Primer Cuatrimestre Año 2015.

Dados los puntos \(A:(-1;2;3)\), \(B:(0;2;5)\) y \(C:(4;0;6)\)

1. Verifique que los puntos no están alineados
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   Vamos a demostrar por el absurdo: supongamos que estan alineados. Para la demostración construyamos dos vectores a partir de los tres puntos de tal manera que tengan un origen comun. Esto nos da tres caminos posibles que puede tomar la resolución del problema, todos ellos válidos:

   • Si elegimos \(A\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {AB}=B-A=(0;2;5)-(-1;2;3)=(1;0;2)$$ $$\vec {AC}=C-A=(4;0;6)-(-1;2;3)=(5;-2;3)$$ Luego, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {AB}=k.\vec {AC}\) o bien \(\vec {AC}=k.\vec {AB}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {AB}=k.\vec {AC}\), ver resolución
       $$(1;0;2)=k.(5;-2;3)$$ $$(1;0;2)=(5k;-2k;3k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}1=5k\\0=-2k\\2=3k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 15\), de la segunda, \(k=0\) y de la tercera, \(k=\frac 23\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {AC}=k.\vec {AB}\), ver resolución
       $$(5;-2;3)=k.(1;0;2)$$ $$(5;-2;3)=(k;0;2k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}5=k\\-2=0!!!\\3=2k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=5\), de la segunda, \(-2=0!!!\) y de la tercera, \(k=\frac 32\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número y además no hubiésemos arribado a un absurdo como el de la segunda ecuación. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   • Si elegimos \(B\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {BA}=A-B=(-1;2;3)-(0;2;5)=(-1;0;-2)$$ $$\vec {BC}=C-B=(4;0;6)-(0;2;5)=(4;-2;1)$$ A partir de aquí, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {BA}=k.\vec {BC}\) o bien \(\vec {BC}=k.\vec {BA}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {BA}=k.\vec {BC}\), ver resolución
       $$(-1;0;-2)=k.(4;-2;1)$$ $$(-1;0;-2)=(4k;-2k;k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-1=4k\\0=-2k\\-2=k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=-\frac 14\), de la segunda, \(k=0\) y de la tercera, \(k=-2\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {BC}=k.\vec {BA}\), ver resolución
       $$(4;-2;1)=k.(-1;0;-2)$$ $$(4;-2;1)=(-k;0;-2k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}4=-k\\-2=0!!!\\1=-2k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=-4\), de la segunda, \(-2=0!!!\) y de la tercera, \(k=-\frac 12\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número y además no hubiésemos arribado a un absurdo como el de la segunda ecuación. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   • Si elegimos \(C\) como origen común, ver resolución
     $$\vec {CA}=A-C=(-1;2;3)-(4;0;6)=(-5;2;-3)$$ $$\vec {CB}=B-C=(0;2;5)-(4;0;6)=(-4;2;-1)$$ A partir de aquí, si están alineados (recuerde que intentamos demostrar por el absurdo), se verificará que \(\vec {CA}=k.\vec {CB}\) o bien \(\vec {CB}=k.\vec {CA}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

     • A partir de \(\vec {CA}=k.\vec {CB}\), ver resolución
       $$(-5;2;-3)=k.(-4;2;-1))$$ $$(-5;2;-3)=(-4k;2k;-k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-5=-4k\\2=2k\\-3=-k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 54\), de la segunda, \(k=1\) y de la tercera, \(k=3\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     • A partir de \(\vec {CB}=k.\vec {CA}\), ver resolución
       $$(-4;2;-1)=k.(-5;2;-3)$$ $$(-4;2;-1)=(-5k;2k;-3k)$$ Luego, de aquí se deduce: $$\begin{cases}-4=-5k\\2=2k\\-1=-3k\end{cases}$$ Por lo tanto, de la primer ecuación se deduce \(k=\frac 45\), de la segunda, \(k=1\) y de la tercera, \(k=\frac 13\). Claramente, si la suposición que los puntos estuviesen alineados hubiese sido correcta, \(k\) debería ser el mismo número. Por consiguiente, queda demostrado que los puntos están desalineados.
       
       
     
     
   
   
2. Halle el área del triángulo \(ABC\)
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   • Si elegimos los vectores \(\vec {AB}\) y \(\vec {AC}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(A\), \(\vec {AB}\) y \(\vec {AC}\): $$\vec {AB}=B-A=(0;2;5)-(-1;2;3)=(1;0;2)$$ $$\vec {AC}=C-A=(4;0;6)-(-1;2;3)=(5;-2;3)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {AB} \times \vec {AC} \|} {2} = \frac {\|(1;0;2) \times (5;-2;3) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 1 & 0 & 2\cr 5 & -2 & 3} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{0 & 2\cr -2 & 3} \right | \breve i - \left | \matrix{1 & 2\cr 5 & 3} \right | \breve j + \left | \matrix{1 & 0\cr 5 & -2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(0).(3)-(-2).(2)] \breve i - [(1).(3) - (2).(5)] \breve j + [(1).(-2)-(5).(0) \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (0+4) \breve i - (3-10) \breve j + (-2-0) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {AC} \times \vec {AB} \|} {2} = \frac {\| (5;-2;3) \times (1;0;2) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 5 & -2 & 3\cr 1 & 0 & 2} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{-2 & 3\cr 0 & 2} \right | \breve i - \left | \matrix{5 & 3\cr 1 & 2} \right | \breve j + \left | \matrix{5 & -2\cr 1 & 0} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(-2).(2)-(0).(3)] \breve i - [(5).(2) - (1).(3)] \breve j + [(5).(0)-[(1).(-2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-4-0) \breve i - (10-3) \breve j + (0+2) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   • Si elegimos los vectores \(\vec {BA}\) y \(\vec {BC}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(B\), \(\vec {BA}\) y \(\vec {BC}\): $$\vec {BA}=A-B=(-1;2;3)-(0;2;5)=(-1;0;-2)$$ $$\vec {BC}=C-B=(4;0;6)-(0;2;5)=(4;-2;1)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {BA} \times \vec {BC} \|} {2} = \frac {\|(-1;0;-2) \times (4;-2;1) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -1 & 0 & -2\cr 4 & -2 & 1} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{0 & -2\cr -2 & 1} \right | \breve i - \left | \matrix{-1 & -2\cr 4 & 1} \right | \breve j + \left | \matrix{-1 & 0\cr 4 & -2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(0).(1)-(-2).(-2)] \breve i - [(-1).(1) - (4).(-2)] \breve j + [(-1).(-2)-(4).(0)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (0-4) \breve i - (-1+8) \breve j + (2-0) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {BC} \times \vec {BA} \|} {2} = \frac {\| (4;-2;1) \times (-1;0;-2) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr 4 & -2 & 1\cr -1 & 0 & -2} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{-2 & 1\cr 0 & -2} \right | \breve i - \left | \matrix{4 & 1\cr -1 & -2} \right | \breve j + \left | \matrix{4 & -2\cr -1 & 0} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(-2).(-2)-(0).(1)] \breve i - [(4).(-2) - (-1).(1)] \breve j + [(4).(0)-(-1).(-2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (4-0) \breve i - (-8+1) \breve j + (0-2) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   • Si elegimos los vectores \(\vec {CA}\) y \(\vec {CB}\), el área del triángulo es \(\frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|}{2}\) o bien \(\frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|}{2}\)
     Primero obtengo los vectores con origen común en \(C\), \(\vec {CA}\) y \(\vec {CB}\): $$\vec {CA}=A-C=(-1;2;3)-(4;0;6)=(-5;2;-3)$$ $$\vec {CB}=B-C=(0;2;5)-(4;0;6)=(-4;2;-1)$$ Luego, calculamos el área del triángulo:
     • \(\frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {CA} \times \vec {CB} \|} {2} = \frac {\|(-5;2;-3) \times (-4;2;-1) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -5 & 2 & -3\cr -4 & 2 & -1} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{2 & -3\cr 2 & -1} \right | \breve i - \left | \matrix{-5 & -3\cr -4 & -1} \right | \breve j + \left | \matrix{-5 & 2\cr -4 & 2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(2).(-1)-(2).(-3)] \breve i - [(-5).(-1) - (-4).(-3)] \breve j + [(-5).(2)-(-4).(2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-2+6) \breve i - (5-12) \breve j + (-10+8) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert 4 \breve i +7 \breve j -2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
     • \(\frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|}{2}\), ver resolución
       $$Área_\overset {\triangle} {ABC} = \frac {\|\vec {CB} \times \vec {CA} \|} {2} = \frac {\|(-4;2;-1) \times (-5;2;-3) \|} {2} =\frac {\left \lVert \left | \matrix{\breve i & \breve j & \breve k \cr -4 & 2 & -1\cr -5 & 2 & -3} \right |\right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert \left | \matrix{2 & -1\cr 2 & -3} \right | \breve i - \left | \matrix{-4 & -1\cr -5 & -3} \right | \breve j + \left | \matrix{-4 & 2\cr -5 & 2} \right | \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert [(2).(-3)-(2).(-1)] \breve i - [(-4).(-3) - (-5).(-1)] \breve j + [(-4).(2)-(-5).(2)] \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\left \lVert (-6+2) \breve i - (12-5) \breve j + (-8+10) \breve k \right \rVert} {2}=\frac {\left \lVert -4 \breve i -7 \breve j +2 \breve k \right \rVert} {2}=$$ $$=\frac {\sqrt{(-4)^2+(-7)^2+2^2}} {2}=\frac {\sqrt{16+49+4}} {2}=\frac {\sqrt{69}} {2}$$
       
       
   
   Mostrar Resultado
   $$\frac {\sqrt {69}} {2}$$
   
   

20 Vectores \(\parallel\) y \(\perp\)

Fuente: Cuadernillo de Ejercitación de Matemática I de UNM, Primer Cuatrimestre Año 2015.

Dados \(\vec{v}=(m;1;2)\) y \(\vec{w}=(-2;n;-1)\) encuentre todos los valores reales para que:

1. \(\vec{v}\parallel \vec{w}\)
   Mostrar Resolución
   Si dos vectores son paralelos, entonces uno de ellos puede expresarse como un número escalar multiplicado por el otro. De esta aseveración surgen dos posibilidades: \(\vec{v}=k.\vec{w}\) o bien, \(\vec{w}=k.\vec{v}\), siendo \(k\) un número real cualquiera.

   • A partir de \(\vec{v}=k.\vec{w}\), ver resolución
     $$(m;1;2)=k.(-2;n;-1)$$ $$(m;1;2)=(-2k;nk;-k)$$ A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}m=-2k\\1=nk\\2=-k\end{cases}$$ El valor de \(k\) en la última ecuación de este sistema de ecuaciones, me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   • A partir de \(\vec{w}=k.\vec{v}\), ver resolución
     \((-2;n;-1)=k.(m;1;2)\) \((-2;n;-1)=(mk;k;2k)\) A partir de aquí se deduce: $$\begin{cases}-2=mk\\n=k\\-1=2k\end{cases}$$ De la última ecuación de este sistema de ecuaciones, se deduce: $$-1=2k$$ $$k=-\frac 12$$ Este valor me permite hallar los valores de \(n\) y \(m\) de la segunda y primera ecuación respectivamente.
     
     
   
   Mostrar Resultado
   $$m=4$$ $$n=-\frac 12$$
   
   
2. \(\vec{v}\perp \vec{w}\)
   Mostrar Resolución
   Si dos vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre dichos vectores es nulo. $$\vec{v} \cdot \vec{w}=0$$ $$(m;1;2) \cdot (-2;n;-1)=0$$ $$-2m+n-2=0$$ $$-2m+n=2$$ A partir de aquí, podemos considerar expresar a \(m\) en función de \(n\) o viceversa:

   • \(m\) en función de \(n\), ver resolución
     $$-2m=2-n$$ $$2m=n-2$$ $$m=\frac {n-2}2$$ $$m=\frac n2 - \frac 22$$
     
     
   • \(n\) en función de \(m\), ver resolución
     $$n=2+2m$$ $$n=2m+2$$
   
   Mostrar Resultado
   \(m=\frac n2 - 1\) o bien \(n=2(m+1)\)
   
   

18 Notación Científica

Es una forma de simplificar la escritura de números muy grandes o muy pequeños para realizar operaciones con ellos de una manera simple en donde se representan los números utilizando potencias.

Introducción
Existen básicamente dos grandes grupos de sistemas de representación numérica: posicionales y no posicionales. En los sistemas no posicionales la ubicación de cada cifra sigue un patrón o reglas para la confección de un número final. Por ejemplo el símbolo “I” del sistema de numeración romana, que representa por sí solo el número decimal 1, si lo colocamos junto a otros símbolos adquirirá valores en función de su posición relativa; por ejemplo “II” es 2 (1+1), pero, por ejemplo en “IV” resta uno al número “V” (5 en números decimales) o sea, resulta el valor final 4. De esta manera, podemos observar que dependiendo de la posición que ocupe la cifra “I” en el número final de un número romano, va adquiriendo distintos significados según las reglas establecidas para este tipo de sistema. Dicho de otra manera, no podríamos establecer un “peso” para la posición que ocupe una cifra dentro de un número romano. Otro ejemplo de sistema de representación numérica no posicional resulta la notación con jeroglíficos, que utiliza símbolos para determinar cantidades.

Los sistemas de representación posicional tienen la característica de que cada posición dentro del número posee un valor determinado por la base del sistema. Si el sistema de numeración es decimal (es decir se utilizan 10 símbolos para representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), los números pueden descomponerse en factores de potencias de 10. Si el sistema de numeración es octal (se utilizan 8 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7), los números pueden descomponerse en factores de potencias de 8. Si es hexadecimal (16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F), en factores de potencias de 16. Si es binario (2 símbolos: 0 y 1), los números pueden descomponerse en potencias de 2.
Los números decimales son los que utilizamos diariamente y usualmente se los denomina arábigos en referencia a los árabes, quienes fueron los que los introdujeron en Europa, aunque en realidad su invención proviene de la India, por eso es que al sistema decimal también se lo denomina indo arábigo.
Los números binarios encuentran su aplicación en las ciencias de cómputo, tales como la informática y los sistemas de computación. La existencia o no de electricidad dentro de un componente electrónico se representa muy bien matemáticamente con el símbolo uno y cero (existencia de tensión eléctrica / inexistencia de tensión).

Descomposición en Factores
Hablando ya de sistemas posicionales, en un número de cuatro cifras no es lo mismo ubicar un símbolo numérico en la primera, en la segunda, en la tercera o en la cuarta posición (en un sistema posicional que admita las cifras 1, 2, 3 y 4, 1.234 es distinto de 3.241). Esto es así porque las posiciones dentro de un número en un sistema posicional poseen un peso y, una misma cifra ubicada en distintas posiciones adquiere diferentes valores. Esta propiedad hace posible que un número pueda ser expresado mediante una descomposición "en factores" entre cada cifra y el valor de la posición.
Mostrar cómo se factoriza el número decimal 3.459

n° dec. \(3.459\)	Pos. 3	Pos. 2	Pos. 1	Pos. 0
peso	\(\ 10^3=1.000\ \)	\(\ 10^2=100\ \)	\(\ 10^1=10\ \)	\(\ 10^0=1\ \)
cifra	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(9\)
descomp. en fact. de pot. de 10	\(3x10^3+4x10^2+5x10^1+9x10^0\) \(3x1.000+4x100+5x10+9x1\) \(3.000+400+50+9=3.459\)

Mostrar cómo se factoriza el número binario 11101

n° bin. \(11101\)	Pos. 4	Pos. 3	Pos. 2	Pos. 1	Pos. 0
peso dec.	\(\ 2^4=16\ \)	\(\ 2^3=8\ \)	\(\ 2^2=4\ \)	\(\ 2^1=2\ \)	\(\ 2^0=1\ \)
cifra bin.	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)
descomp. en fact. de pot. de 2	\(1x2^4+1x2^3+1x2^2+0x2^1+1x2^0\) \(1x16+1x8+1x4+0x2+1x1\) \(16+8+4+0+1=29\)

Mostrar cómo se factoriza el número decimal -0,03

n° dec. \(-(0,03)\)	Pos. 0	Pos. -1	Pos. -2
peso	\(\ 10^0=1\ \)	\(\ 10^{-1}=0,1\ \)	\(\ 10^{-2}=0,01\ \)
cifra	\(0,\)	\(0\)	\(3\)
descomp. en fact. de pot. de 10	\(-(0x10^0+0x10^{-1}+3x10^{-2})\) \(-(0x1+0x0,1+3x0,01)\) \(-(0+0+0,03=0,03)=-0,03\)

Notación Científica
Para escribir números muy grandes o números muy chicos usualmente los valores más significativos son los que ocupan las posiciones más altas o las más bajas respectivamente, prescindiendo de las primeras posiciones del número. Aprovechando esto y la descomposición factorial en potencias podemos escribir estos números de una forma más simple y elegante. Esto también permitirá operar matemáticamente con ellos de una manera más apropiada y sencilla evitando limitaciones físicas tales como cantidad de cifras soportadas por una calculadora, computadora, etc.
Ejemplo Número de Avogadro

Mol es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades. Es por definición una constante que no depende de la sustancia, denominada número de Avogadro y su magnitud equivale aproximadamente a 602.200.000.000.000.000.000.000 en un sistema de numeración decimal.
Para escribir este número en notación científica, primero decidimos donde ubicar la coma decimal, por ejemplo: después del 6. Luego contamos las posiciones que ocupan las cifras restantes y obtenemos así el exponente para construir la notación científica: $$6\overbrace {02.200.000.000.000.000.000.000}^{23\ posiciones}=6,022x10^{23}$$

Ejemplo Googol

Google. El nombre de este famoso buscador de internet deriva de un error ortográfico de la palabra Googol (que se pronuncia gúgol). 1 gúgol=\(10^{100}\): un 1 seguido de 100 ceros! Este término fue acuñado en 1.938 por Milton Sirotta cuando tenía 9 años, sobrino de Edward Kasner (1878 – 1955), un matemático judío norteamericano, cuando este le preguntó qué nombre se imaginaba para un número muy grande. Este número no tiene una particular importancia para las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Fue creado para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito.

Ejemplo Masa del Electrón

Masa del Electrón. Un átomo está compuesto por un núcleo en donde se encuentran los protones y neutrones y, en órbitas se encuentran los electrones. Un electrón no tiene componentes o subestructuras conocidos, por lo que se considera una partícula elemental. En muchos fenómenos físicos, tales como la electricidad, el magnetismo o la conductividad térmica, los electrones tienen un papel esencial.
La masa del electrón es \(9,109.382.91\ x\ 10^{-31}\) kg. Para escribir este número en notación decimal, desplazamos la coma decimal hacia la izquierda 31 posiciones, rellenando con ceros: $$0,\overbrace {000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.9}^{31 posiciones}10.938.291$$

Ejercicios

1. ¿Qué número decimal representa?
   1. \(2x10^7\)
      Mostrar resultado
      $$2\overbrace{0.000.000}^{7\ pos.}$$
      
      Mostrar resolución
      
      Ubicamos el 2 en la posición \(7\) y completamos con ceros las posiciones siguientes hasta llegar a la posición cero:
      
      

      Pos. 7	Pos. 6	Pos. 5	Pos. 4	Pos. 3	Pos. 2	Pos. 1	Pos. 0
      \(\ 10^7\ \)	\(\ 10^6\ \)	\(\ 10^5\ \)	\(\ 10^4\ \)	\(\ 10^3\ \)	\(\ 10^2\ \)	\(\ 10^1\ \)	\(\ 10^0\ \)
      \(2\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
      \(2x10^7+0x10^6+0x10^5+0x10^4+0x10^3+0x10^2+0x10^1+0x10^0\) \(20.000.000+0+0+0+0+0+0+0=20.000.000\)

      
      
   2. \(0,3x10^{-7}\)
      Mostrar resultado
      $$0,\overbrace{000.000.0}^{7\ pos.}3$$
      
      Mostrar resolución
      
      Ubicamos el 0 en la posición \(-7\) y por ende, el 3 en la posición \(-8\) y completamos las posiciones precedentes con ceros hasta llegar a la posición cero:
      
      

      Pos. 0	Pos. -1	Pos. -2	Pos. -3	Pos. -4	Pos. -5	Pos. -6	Pos. -7	Pos. -8
      \(\ 10^0\ \)	\(\ 10^{-1}\ \)	\(\ 10^{-2}\ \)	\(\ 10^{-3}\ \)	\(\ 10^{-4}\ \)	\(\ 10^{-5}\ \)	\(\ 10^{-6}\ \)	\(\ 10^{-7}\ \)	\(\ 10^{-8}\ \)
      \(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(3\)
      \(0x10^0+0x10{^-1}+0x10^{-2}+0x10^{-3}+0x10^{-4}+0x10^{-5}+0x10^{-6}+0x10^{-7}+3x10^{-8}\) \(0+0+0+0+0+0+0+0+0,000.000.03=0,000.000.03\)

      
      
   3. \(-0,21x10^{9}\)
      Mostrar resultado
      $$-\overbrace{210.000.000}^{9\ pos.}$$
      
      Mostrar resolución
      
      Nos "olvidamos" temporalmente del signo negativo y ubicamos el 0 en la posición \(9\) y por ende, el 2 en la posición \(8\), el 1 en la posición \(7\) y completamos las posiciones siguientes con ceros hasta llegar a la posición cero:
      
      

      Pos. 9	Pos. 8	Pos. 7	Pos. 6	Pos. 5	Pos. 4	Pos. 3	Pos. 2	Pos. 1	Pos. 0
      \(\ 10^9\ \)	\(\ 10^8\ \)	\(\ 10^7\ \)	\(\ 10^6\ \)	\(\ 10^5\ \)	\(\ 10^4\ \)	\(\ 10^3\ \)	\(\ 10^2\ \)	\(\ 10^1\ \)	\(\ 10^0\ \)
      \(0\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
      \(0x10^9+2x10^8+1x10^7+0x10^6+0x10^5+0x10^4+0x10^3+0x10^2+0x10^1+0x10^0\) \(0+200.000.000+10.000.000+0+0+0+0+0+0+0=210.000.000\)

      
      Por último no "olvidemos" que el número era negativo, por lo que el resultado es \(-210.000.000\)
      
      
   4. \(-12,03x10^{-5}\)
      Mostrar resultado
      $$-0,\overbrace{000.12}^{5\ pos.}0.3$$
      
      Mostrar resolución
      
      Nos "olvidamos" temporalmente del signo negativo y ubicamos el 1 en la posición \(-4\), el 2 en la posición \(-5\), el 0 en la posición \(-6\), el 3 en la posición \(-7\) y completamos las posiciones precedentes con ceros hasta llegar a la posición cero:
      
      

      Pos. 0	Pos. -1	Pos. -2	Pos. -3	Pos. -4	Pos. -5	Pos. -6	Pos. -7
      \(\ 10^0\ \)	\(\ 10^{-1}\ \)	\(\ 10^{-2}\ \)	\(\ 10^{-3}\ \)	\(\ 10^{-4}\ \)	\(\ 10^{-5}\ \)	\(\ 10^{-6}\ \)	\(\ 10^{-7}\ \)
      \(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(3\)
      \(0x10^0+0x10^{-1}+0x10^{-2}+0x10^{-3}+1x10^{-4}+2x10^{-5}+0x10^{-6}+3x10^{-7}\) \(0+0+0+0+0,000.1+0,000.02+0+0,000.000.3+0=0,000.120.3\)

      
      Por último no "olvidemos" que el número era negativo, por lo que el resultado es \(-0,000.120.3\)
      
      
2. Expresar en notación científica los siguientes números decimales:
   1. \(1.203.000\)
      Mostrar resultado
      $$1,203x10^{6}$$
      
      Mostrar resolución
      
      Primero elegimos el lugar donde queremos ubicar la coma decimal (o bien, el exponente de la potencia de 10 que nos convenga para realizar cálculos). En este ejercicio ubicaremos la coma luego del número 1 y a partir de allí contamos la cantidad de posiciones restantes para hallar el exponente de la potencia de diez:
      $$1,\overbrace {203.000}^{6\ posiciones}$$ Recordando que los ceros a la derecha en la parte decimal no tienen valor, escribimos el número en notación científica: $$1.203.000=1,203x10^{6}$$ Aunque podríamos haber querido que 12 sea el número entero, en ese caso, la coma estaría ubicada después del número 2, por consiguiente los números restantes ocupan 5 posiciones y el número en notación científica equivalente sería: $$12,03x10^{5}$$
      
      
   2. \(-0,000.000.000.024\)
      Mostrar resultado
      $$-2,4x10^{-11}$$
      
      Mostrar resolución
      
      Primero elegimos el lugar donde queremos ubicar la coma decimal (o bien, el exponente de la potencia de 10 que nos convenga para realizar cálculos). En este ejercicio ubicaremos la coma luego del número 2 y a partir de allí contamos la cantidad de posiciones precedentes hasta llegar a la coma decimal para hallar el exponente negativo de la potencia de diez:
      $$-0\ \overbrace {000.000.000.02}^{11\ posiciones},4$$ Recordando que los ceros a la izquierda en la parte entera no tienen valor, escribimos el número en notación científica: $$-0,000.000.000.024=-2,4x10^{-11}$$ Aunque podríamos haber querido que 24 sea el número entero, en ese caso, la coma estaría ubicada después del número 4, por consiguiente los números precedentes ocupan 12 posiciones y el número en notación científica equivalente sería: $$24x10^{-12}$$
      
      
   3. \(-24.000.000.000\)
      Mostrar resultado
      $$-2,4x10^{10}$$
      
      Mostrar resolución
      
      El mecanismo de resolución es muy similar el explicado para el ejercicio 2)a.
      
      
   4. ¿Existe un único resultado correcto para cada valor hallado?

17 Vectores Perpendiculares

Rectas que contienen a vectores perpendiculares

Dados los siguientes puntos y vectores:

1. Hallar la ecuación general de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) y a \(\vec{DC}\)
   Mostrar resolución
   Recordamos que la ecuación de una recta tiene la siguiente forma: \(y=ax+b\), siendo \(a\) la pendiente (a veces se la denomina con la letra \(m\) también) y \(b\) la ordenada al origen (el punto en donde la recta interseca al eje de las ordenadas).
   Para la recta que contiene a \(\vec{AB}\) hallaremos la pendiente \(a_1\) y la ordenada al origen \(b_1\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_1=a_1x+b_1\)

   • Recta que contiene a \(\vec{AB}\)
     Del vector libre de \(\vec{AB}\) podemos obtener la pendiente \(a_1\) de la recta que lo contiene. Mostrar pasos intermedios
     $$\vec{AB}=(\vec{AB_x};\vec{AB_y})=\vec B-\vec A=(13;11)-(1;3)=(12;8)$$ La pendiente se calcula mediante la siguiente fórmula: $$a_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ Al ser un vector libre, el origen de coordenadas cartesianas coincide con el origen del vector. Por consiguiente podemos plantear: $$a_1=\frac{\vec{AB_y}-0}{\vec{AB_x}-0}=\frac yx=\frac8{12}$$
     $$a_1=\frac23$$ Ahora calcularemos la pendiente al origen \(b_1\). Con la pendiente de una recta y un punto que pertenece a ella podemos construir la ecuación de la misma. Como tenemos dos puntos para elegir, cualquiera de los dos que elijamos nos conducirá a la solución. Exploramos las dos alternativas:
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(A:(1;3)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$3=\frac231+b_1$$ $$3=\frac23+b_1$$ $$b_1=3-\frac23$$ $$b_1=\frac93-\frac23=\frac{9-2}3$$
     • Cálculo de \(b_1\) a partir de \(B:(13;11)\) Mostrar procedimiento
       $$y_1=a_1x+b_1$$ $$11=\frac2313+b_1$$ $$11=\frac{26}3+b_1$$ $$b_1=11-\frac{26}3$$ $$b_1=\frac{33}3-\frac{26}3=\frac{33-26}3$$
     $$b_1=\frac73$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{AB}\) es \(y_1=\frac23x+\frac73\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   • Recta que contiene a \(\vec{DC}\)
     Para la recta que contiene a \(\vec{DC}\) hallaremos la pendiente \(a_2\) y la ordenada al origen \(b_2\) y expresaremos su ecuación explícita que tendrá la forma \(y_2=a_2x+b_2\)
     El vector \(\vec{DC}\) es perpendicular a \(\vec{AB}\) por lo tanto la pendiente \(a_2\) es: Mostrar por qué
     Porque la relación entre la pendiente de una recta y otra perpendicular a ella es \(a_{\perp}=-\frac1a\) $$a_2=-\frac1{a_1}=-\frac1{\frac23}=-\frac1{\frac23}\frac{\frac32}{\frac32}$$
     $$a_2=-\frac32$$ La ordenada al origen de \(b_2\) es:
     Mostrar por qué
     Utilizando el punto \(C:(6;15)\), que sabemos pertenece a la recta que contiene a dicho vector, calculamos \(b_2\): $$y_2=a_2x+b_2$$ $$15=-\frac326+b_2$$ $$15=-\frac{18}2+b_2$$ $$b_2=15+\frac{18}2$$ $$b_2=\frac{30}2+\frac{18}2=\frac{48}2$$
     $$b_2=24$$ Luego, la ecuación explícita de la recta que contiene a \(\vec{CD}\) es \(y_2=-\frac32x+24\). Para la expresión de la ecuación general de la recta consulte el link Mostrar resultado de este ítem.
   
   Mostrar resultado
   Recta que contiene a \(\vec{AB}\): \(-2x+3y-7=0\)
   Recta que contiene a \(\vec{DC}\): \(-3x-2y+48=0\)
   
   
2. Dar las coordenadas del punto \(D\)
   Mostrar resolución
   El punto \(D\) pertenece a ambas rectas, por consiguiente podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de dicho punto: $$\cases{y_1=\frac23x+\frac73 \cr y_2=-\frac32x+24}$$ En \(D\), \(y_1=y_2\), por consiguiente: $$\frac23x+\frac73=-\frac32x+24$$ Luego se deduce que la abscisa del punto \(D\) es:
   Mostrar pasos intermedios

   $$\left(\frac23+\frac32\right)x=24-\frac73$$ $$\frac{4+9}6x=\frac{72}3-\frac73$$ $$\frac{13}6x=\frac{65}3$$ $$\frac{13}2x=65$$ $$x=\frac{130}{13}$$

   $$D_x=10$$ Luego, la ordenada del punto \(D\) es:
   Mostrar por qué

   La ordenada del punto \(D\) se calcula reemplazando el valor hallado de \(D_x\) en \(y_1\) o bien en \(y_2\).

   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_1\)
     $$D_y=\frac23(10)+\frac73$$ $$D_y=\frac{20}3+\frac73$$ $$D_y=\frac{27}3$$
   • Cálculo de \(D_y\) a partir de \(y_2\)
     $$D_y=-\frac32(10)+24$$ $$D_y=-\frac{30}3+24$$ $$D_y=-15+24$$

   $$D_y=9$$
   
   Mostrar resultado
   \(D:(10; 9)\)
   
   

16 T \(e^{mperatura}\)

Matemática aplicada a la Medicina
Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en \(°C\)) \(t\) horas después de haberles suministrado cierta droga se rige por la ley: $$T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ ¿En qué tiempo se alcanza la temperatura máxima y cuál es esa temperatura?
Mostrar resolución

Utilizaremos el método de la primera y segunda derivada para encontrar puntos críticos y máximos / mínimos respectivamente.

1. Primero derivamos la función notando que la operación principal es \(e^x\) siendo \(x\) todo lo que está en el exponente del número \(e\). Haremos uso de la regla de la cadena también para derivar esta función.
   Mostrar pasos intermedios
   $$\frac d {dt}(T)=\frac d {dt}\left(37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)$$ $$\frac 1 4 \frac d {dt}\left(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)=\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \frac d {dt} \left( -\frac {(t-2)^2} 2 \right)$$
   $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)$$
2. Ahora analizamos qué valores anulan la primera derivada para determinar los puntos críticos (candidatos a máximos y mínimos): $$\frac d {dt}(T)=-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)=0$$ Claramente se puede comprobar que esta expresión únicamente se anula en \(t=2\) porque, por muy compleja que pueda resultar la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará valores iguales a cero, incluso tampoco tomará valores negativos. Mostrar por qué.
   Simplificando la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) obtenemos \(\frac 1 {e^{\frac {(t-2)^2} 2}}\). Aquí, la expresión \(\frac {(t-2)^2} 2\) tomará el valor cero en \(t=0\), pero cualquier número elevado a la cero da 1, por definición y en ese caso \(e^0\) no anulará el denominador. Por consiguiente, independientemente del valor de la variable \(t\) la expresión \(e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) nunca tomará el valor cero.
   Gráficamente, observemos la función \(f_{(t)}=e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) que evidencia lo que analíticamente hemos mencionado:
   
   

   
   
   
3. Ahora derivamos una vez más la función para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo, recordando que, si la derivada segunda evaluada en el punto crítico toma valores positivos, estamos en presencia de un mínimo en dicho punto. Por el contrario, si el valor de la derivada segunda en el punto crítico es negativo, entonces estamos en presencia de un máximo.
   Mostrar pasos intermedios
   $$\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)$$ La operación principal es una multiplicación, así que primero aplicamos la regla de la multiplicación para derivar. $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)+\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\right)\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\frac d {dt}\left(\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} \right)(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\frac d {dt}(t-2)$$ $$\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)=-\underbrace {\frac 1 4 e^{\frac {(t-2)^2} 2}}_{\text {ya calculado}}(t-2)-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}$$ $${\left(\frac d {dt}\left(-\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2} (t-2)\right)\right)}_{(2)}=\underbrace{-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1\underbrace{(2-2)}_{0}}_0-\frac 1 4 \underbrace{e^{-\frac {\overbrace{(2-2)^2}^0} 2}}_1$$
   $${\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-\frac 1 4$$ Por consiguiente, al hallar que la derivada segunda de la función evaluada en el punto crítico \(t=2\) toma un valor negativo \({\left(\frac d {dt}\left(\frac d {dt}(T)\right)\right)}_{(2)}=-0,25\) entonces podemos afirmar que en dicho punto, la función \(T_{(t)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(t-2)^2} 2}\) toma el máximo valor posible.
   
   La temperatura máxima que alcanza el paciente al cabo de \(2\) horas es: $$T_{(2)}=37+\frac 1 4 e^{-\frac {(2-2)^2} 2}=37+\frac 1 4 e^0=37+\frac 1 4=37,25\ °C$$

Mostrar resultado

En dos horas y \(37,25\ °C\)

15 Asíntota Fantasma

Límite para el Cálculo de Asíntotas

Calcular todas las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiere, de: $$f_{(x)}=\frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}$$
Mostrar resolución

• Asíntotas Verticales
  En una función racional, para averiguar puntos candidatos a asíntotas horizontales debemos centrarnos en aquellos puntos del dominio de la función que anulen el denominador. En este caso el denominador nunca se hará nulo, pues un número elevado al cuadrado siempre es positivo y, en el caso de que sea cero, al sumarle uno siempre será un número positivo (ver gráfica de \(x^2+1\)). Por ello, el radicando siempre será mayor que uno y, por ende, el radical (ver gráfica de \(\sqrt {(x^2+1)}\)) siempre serán valores distintos de cero y, en particular, positivos mayores o iguales que uno.
  Por extensión, no existen asíntotas verticales.
  
• Asíntotas Horizontales
  Para determinar que es una asíntota horizontal se debe verificar una de las dos condiciones siguientes:
  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=l\) $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2+1}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2(1+\frac 1 {x^2})}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}}=$$ $$=\frac 2 {\sqrt{1+0^+}}=\frac 2 {\sqrt {1^+}}=\frac 2 {1^+} = 2$$ De esta manera en \(y=2\) hay una asíntota horizontal.
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=l\)
     Siguiendo los mismos pasos que para el límite a \(+\infty\) obtenemos el mismo resultado, asíntota horizontal en \(y=2\)
  
  Pero, si observamos la gráfica de la función (ver gráfica) podemos apreciar que existirían dos asíntotas horizontales: una en \(y=2\) (la cual corroboramos) y otra en \(y=-2\). Entonces... ¿dónde estuvo el error? ( ver dónde estuvo el error
  El error estuvo en la siguiente simplificación: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ No se consideró la definición de la función módulo \(|x|=\sqrt{x^2}\) en la expresión resultante.
  Debió hacerse lo siguiente: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{\sqrt {x^2}\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{|x| \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}$$ Y a partir de allí, considerar los siguientes límites:

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac {2x}{-x \sqrt{1+\frac 1 {x^2}}}\)
     A partir de aquí, puede comprobarse fácilmente como "aparece" la asíntota "fantasma" ;) \(y=-2\)
  ) ¿por qué en el límite a \(-\infty\) no obtuvimos la asíntota horizontal \(y=-2\)?

Mostrar resultado

• No tiene asíntotas verticales
• Asíntotas horizontales
  • \(y=2\)
  • \(y=-2\)

14 "T" resuelvo

Matemática aplicada a la Cinemática

Un móvil parte del reposo desde A hacia B hasta alcanzar la velocidad de 25 m/s en T segundos. Luego se dirige hacia C con velocidad constante por el lapso de 4T s. A partir de allí finaliza su recorrido en D volviendo al reposo en 2T s más. Si recorrió 3.850 m, trace la gráfica de velocidad en función del tiempo para los tres tramos y calcule T.
Mostrar resolución

Gráfica de velocidad en función del tiempo:

1. Resolución gráfica (mostrar resolución gráfica)
   Sin duda, la forma más fácil de resolver este ejercicio.
   Recordemos que el área debajo de la curva de velocidad en función del tiempo (en este caso un trapecio - mostrar área de un trapecio

   Área de un trapecio = \(\frac {B+b} {2} h\), donde "B" es base mayor, "b" es base menor y "h" es la altura del trapecio

   ) es la distancia recorrida por el móvil; así que sólo debemos plantear la siguiente ecuación y despejar "T" para resolver el problema: $$\frac {7\ T+4\ T}{2}25\frac m s= 3.850\ m$$ $$\frac {11\ T}{2}=\frac {3.850\ m}{25\frac m s}$$ $$11\ T=2\frac {3.850}{25}m\frac s m$$ $$T=\frac {308}{11}s$$ $$T=28\ s$$
2. Resolución analítica (mostrar resolución analítica)
   Esta forma de resolución es más laboriosa que la resolución gráfica, pero representa un desafío más que interesante desde el punto de vista físico y matemático.
   
   Al final del movimiento (en el punto D) y luego de transcurridos \(7T\) segundos se verifica $$X_D=3.850m$$ Pero, antes a los \(5T\) segundos el móvil se hallaba en el punto C, y a \(T\) segundos se hallaba en el punto B, por consiguiente la posición en el punto D, \(X_D\), depende de las posiciones del móvil en el punto C \(X_C\) y en el punto B \(X_B\).
   Antes de continuar, tenga en cuenta que cuando se hace referencia a \(t\) (en minúscula) se refiere a la variable tiempo, mientras que \(T\) (en mayúscula) se refiere al valor que tenemos que averiguar.
   

   • \(X_B\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo A-B, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{A-B(t)}=\overbrace{X_A}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_A}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(A-B)}\Delta t^2$$ $$X_{A-B(t)}=X_A+V_A(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(A-B)}(t-\underbrace {t_A}_{t.\ inicial})^2$$ Como el móvil parte del reposo, la posición, la velocidad inicial y el tiempo son nulos. Por consiguiente, la ecuación se reduce a: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 a_{(A-B)}t^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(A-B)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_B - V_A}{t_B - t_A}=\frac {25\frac m s - 0\frac m s}{T s - 0 s}=\frac {25} T \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{A-B(t)}=\frac 1 2 \frac {25} T \frac m {s^2} t^2$$ Ahora bien, en el punto B, al final de este tramo, transcurridos \(T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{A-B(T)}=\frac {25} 2 \frac m {s^2} \frac {T^2}{T}$$ Simplificando:
     $$X_B=12,5\frac m s T$$
   • \(X_C\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo B-C, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme - MRU
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{B-C(t)}=\overbrace {X_B}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_B}^{vel.\ inicial}\Delta t$$ $$X_{B-C(t)}=X_B+\underbrace {25\frac m s}_{dato} (t-\underbrace {t_B}_{T\ s})$$ Entonces, la ecuación de posición en función del tiempo de este tramo queda: $$X_{B-C(t)}=X_B+25\frac m s (t-T)$$ Ahora bien, en el punto C, al final de este tramo, transcurridos \(5T\) segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s (5T-T)$$ $$X_{B-C(5T)}=X_B+25\frac m s 4T$$ Simplificando:
     $$X_C=X_B+100\frac m s T$$
   • \(X_D\)
     Este valor se calcula en la posición final del tramo C-D, utilizando la ecuación de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado - MRUV
     (mostrar pasos intermedios)
     $$X_{C-D(t)}=\overbrace{X_C}^{pos.\ inicial}+\overbrace {V_C}^{vel.\ inicial}\Delta t+\frac 1 2 a_{(C-D)}\Delta t^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+V_C(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-\underbrace {t_C}_{t.\ inicial})^2$$ $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)+\frac 1 2 a_{(C-D)}(t-5T)^2$$ Para calcular la aceleración utilizamos la siguiente fórmula: $$a_{(C-D)}=\frac {\Delta V}{\Delta t}=\frac {V_D - V_C}{t_D - t_C}=\frac {0\frac m s - 25\frac m s}{7T s - 5T s}=-\frac {25} {2T} \frac m {s^2}$$ Reemplazando este valor en la ecuación: $$X_{C-D(t)}=X_C+25\frac m s (t-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(t-5T)^2$$ Ahora bien, en el punto D, al final de este tramo, transcurridos 7T segundos desde que el móvil partió desde el punto A, la posición será: $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s (7T-5T)-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(7T-5T)^2$$ $$X_{C-D(7T)}=X_C+25\frac m s 2T-\frac 1 2 \frac {25}{2T}\frac m {s^2}(2T)^2$$ Simplificando:
     $$X_D=X_C+50\frac m s T-25\frac m s T$$
   • Cálculo de \(T\)
     $$X_D=3.850m$$ $$X_D=\underbrace {\overbrace {12,5\frac m s T}^{X_B}+100\frac m s T}_{X_C}+50\frac m s T-25\frac m s T=3.850m$$ $$137,5\frac m s T=3.850m$$ $$T=\frac {3.850m} {137,5\frac m s }$$ $$T=28s$$

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$$T=28s$$ Gráfica de velocidad en función del tiempo: