4 - Alumnos de 18, 19 y 20 (Gauss)

Fuente: Matemáticas 2, Martínez-Mediano y Otros, Mc Graw Hill.

Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años. Si la media de sus edades es de 18,5 años, ¿cuántos alumnos hay de cada edad si de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años?
Resolver aplicando el método de Gauss.

¿Cómo resolver? (Mostrar)

Estrategia (Mostrar)

Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss.

Paso a Paso (Mostrar)

Análisis y Diagnóstico (Mostrar)

Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
X = Cantidad de alumnos de 18 años.
Y = Cantidad de alumnos de 19 años.
Z = Cantidad de alumnos de 20 años.
Primer ecuación: "Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años". $$X+Y+Z=32$$ Segunda ecuación: "... la media de sus edades es de 18,5 años". $$\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}=18,5$$ Tercer ecuación: "... de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años". $$X=Y+Z+6$$

Proceso Resolutivo (Mostrar)

Planteamos el sistema de ecuaciones. $$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}&=18,5\\X&=Y+Z+6\end{cases}$$ Por conveniencia, reescribimos la matriz realizando unas operaciones algebraicas. (Mostrar)

$$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}\ (32)&=18,5\ (32)\\X-Y-Z&=Y+Z+6-Y-Z\end{cases}$$

$$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\18\ X&+19\ Y&+20\ Z&=592\\X&-Y&-Z&=6\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18 & 19 & 20 & 592\cr 1 & -1 & -1 & 6\end{pmatrix}$$

Utilizando el teorema de transformaciones elementalaes de las filas de una matriz, formamos una matriz escalonada (método de Gauss). (Mostrar)

A la tercer fila la reemplazamos por le resta de la primera y la tercera. A la segunda la reemplazamos por la resta de la segunda fila y 18 veces la primera. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-(18x1) & 19-(18x1) & 20-(18x1) & 592-(18x32)\cr 1-1 & 1-(-1) & 1-(-1) & 32-6\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-18 & 19-18 & 20-18 & 592-576\cr 0 & 1+1 & 1+1 & 26\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 2 & 2 & 26\end{pmatrix}$$ Por último, reemplazamos nuevamente la tercer fila por la resta entre la tercera y 2 veces la segunda. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-(2x0) & 2-(2x1) & 2-(2x2) & 26-(2x16)\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-0 & 2-2 & 2-4 & 26-32\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\&+Y&+2\ Z&=16\\&&-2\ Z&=-6\end{cases}$$

Conclusión (Mostrar)

De la última ecuación del sistema equivalente obtenido por Gauss, realizado en el proceso resolutivo, se deduce: (Mostrar)

$$\frac{-2\ Z=}{-2}=\frac{-6}{-2}$$

$$Z=3$$

Con este valor y de la segunda ecuación, se deduce: (Mostrar)

$$Y+2\ (3)=16$$ $$Y+6=16$$ $$Y+6-6=16-6$$

$$Y=10$$

Con estos valores y de la primer ecuación, se deduce: (Mostrar)

$$X+10+3=32$$ $$X+13=32$$ $$X+13-13=32-13$$

$$X=19$$

Respuesta (Mostrar)

La cantidad de alumnos de 18 años es 19.
La cantidad de alumnos de 19 años es 10.
La cantidad de alumnos de 20 años es 3.

3 - Piscina Llena

Fuente: Matrices y Determinantes, Earl W. Swokowski, Grupo Editorial Iberoamérica.

Una piscina puede ser llenada mediante tres tubos de suministro de agua: A, B y C. El tubo A puede llenarla en 8 horas. Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas. Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina si se emplean A, B y C al mismo tiempo?

¿Cómo resolver? (Mostrar)

Estrategia (Mostrar)

Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss. La clave es plantear las ecuaciones en proporción de volumen de pileta cubierta por hora de llenado.

Paso a Paso (Mostrar)

Análisis y Diagnóstico (Mostrar)

Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
A = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo A de suministro de agua.
B = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo B.
C = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo C.
Primer ecuación: "El tubo A puede llenarla en 8 horas". Esto significa que en una hora completará 1/8 de pileta: $$A=\frac{1}{8}$$ Segunda ecuación: "Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/6 de pileta. $$A+C=\frac{1}{6}$$ Tercer ecuación: "Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/10 de pileta. $$B+C=\frac{1}{10}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que las tres restricciones deben ser satisfechas simultáneamente. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\\A+C=\frac{1}{6}\\B+C=\frac{1}{10}\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\end{pmatrix}$$

Proceso Resolutivo (Mostrar)

Por conveniencia, reordenamos la matriz intercambiando la segunda y tercer fila. $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}$$ Formamos una matriz escalonada (método de Gauss), transformando la última fila de la matriz restándole la primera fila. (Mostrar)

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr (1-1) & (0-0) & (1-0) & \frac{1}{6}-\frac{1}{8}\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 0 & 0 & 1 & \frac{1}{24}\end{pmatrix}$$ Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\cr B+C=\frac{1}{10}\cr C=\frac{1}{24}\end{cases}$$

De la segunda ecuación se deduce: (Mostrar)

$$B+C-C=\frac{1}{10}-C$$ $$B=\frac{1}{10}-C$$ $$B=\frac{1}{10}-\frac{1}{24}$$ $$B=\frac{24-10}{240}$$ $$B=\frac{14}{240}$$

$$B=\frac{7}{120}$$

Entonces tenemos que en una hora se completarán A+B+C partes de la piscina: (Mostrar)

$$A+B+C=\frac{1}{8}+\frac{7}{120}+\frac{1}{24}$$ $$A+B+C=\frac{15+7+5}{120}$$

$$A+B+C=\frac{27}{120}$$

Conclusión (Mostrar)

Si ... $$\frac{27}{120}$$ ... partes de la pileta se completan en una hora utilizando los tres tubos de suministro de agua, entonces (por regla de tres), la piscina se completará en: $$x=\frac {1\ h\ 1\ parte(s)\ de\ piscina}{\frac{27}{120}\ parte(s)\ de\ piscina}$$

Respuesta (Mostrar)

Utilizando los tres tubos de suministro de agua, A, B y C, la piscina se llenará en: $$\frac{120}{27}\ h= 4,\hat 4\ h$$

2 - Mezcla Química

Fuente: Matrices y Determinantes, Earl W. Swokowski, Grupo Editorial Iberoamérica.

Un químico tiene tres soluciones que contienen un cierto ácido. La primera solución contiene 10% de la sustancia ácida; la segunda, 30% y la tercera, 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 50 litros que contenga 32% de ácido, utilizando dos veces más de la solución de 50% que de la de 30%.

¿Cuántos litros de cada solución deben usarse? (Mostrar cómo resolver)

Mostrar Estrategia de Resolución

Con los datos brindados construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss para resolverlo.

Mostrar Paso a Paso

i) Construimos el sistema de ecuaciones.
Identificamos las variables en función de la pregunta del problema. $${V}_{1}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 1$$ $${V}_{2}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 2$$ $${V}_{3}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 3$$ Se pueden construir sólo dos ecuaciones con los datos del enunciado. La primera ecuación expresa la composición porcentual del ácido de la mezcla final. $$0,1\ {V}_{1}+0,3\ {V}_{2}+0,5\ {V}_{3}=16$$

¿¡De dónde salió el 16!?

Es el 32% de ácido de la mezcla resultante de 50 litros.

La segunda ecuación expresa la composición del volumen final en función de la restricciones indicadas.

¿¡Por qué no aparece el volumen de la solución 3 en esta expresión!?

La suma de los volúmenes debe componer 50 litros de la mezcla. $${V}_{1}+{V}_{2}+{V}_{3}=50$$ Según la consigna, el volumen de la solución 3 es dos veces el volumen de la solución dos. $${V}_{1}+{V}_{2}+2\ {V}_{2}=50$$

$${V}_{1}+3\ {V}_{2}=50$$ Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que ambas restricciones deben ser satisfechas simultáneamente. $$\begin{cases}0,1\ {V}_{1}&+0,3\ {V}_{2}&+0,5\ {V}_{3}&=16\\{V}_{1}&+3\ {V}_{2}&&=50\end{cases}$$ ii) Generamos la matriz del sistema.
\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1 & 3 & 0 & 50\end{pmatrix} Utilizando el teorema de transformaciones elementalaes de las filas de una matriz, formamos una matriz escalonada (método de Gauss).

Por ello, restamos diez veces la primera fila de la segunda (Mostrar Pasos Intermedios).

\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1-10\ (0,1)& 3-10\ (0,3) & 0-10\ (0,5) & 50-10\ (16)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1-1& 3-3 & 0-5 & 50-160\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 0 & 0 & -5 & -110\end{pmatrix} Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}0,1\ {V}_{1}&+0,3\ {V}_{2}&+0,5\ {V}_{3}&=16\\&&-5\ {V}_{3}&=-110\end{cases}$$

De la segunda ecuación se deduce: (Mostrar Pasos Intermedios)

$$\frac{-5\ {V}_{3}}{-5}=\frac{-110}{-5}$$ $${V}_{3}=\frac{-110}{-5}$$

$${V}_{3}=22$$ Como en la mezcla final se utilizó dos veces más de la solución 3 que de la solución 2, entonces: $${V}_{2}=\frac{{V}_{3}}{2}$$ $${V}_{2}=11$$

Por último, reemplazando en la primera ecuación del sistema estos valores obtenidos, se tiene: (Mostrar Pasos Intermedios)

$${V}_{1}+11+22=50$$ $${V}_{1}+11+22-11-22=50-11-22$$ $${V}_{1}=50-11-22$$

$${V}_{1}=17$$

Mostrar Respuesta

$$S=({V}_{1};{V}_{2};{V}_{3})=(17;11;22)$$

Similar: Ejemplo 4, Sección 3.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales, p. 143, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler, Jr. y Otros, 12° ed., Pearson Prentice Hall.

1 - Costos Promedio y Marginal. Utilidad Total.

Fuente: Gustavo Díaz Vélez (Ejercicio de Parcial de Matemática I en Universidad Nacional de Moreno, 2013) Brevísima introducción al Cálculo Diferencial e Integral aplicado a la Economía (Prezi)

Si la ecuación de costo promedio de un fabricante es: $${\bar{C}}_{(q)}=0,0001\ q^2-0,02\ q+5+\frac{5.000}{q}$$

A) ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades? (Mostrar cómo resolver)

Mostrar Estrategia de Resolución (ítem A)

Hallamos primero la función costo para calcular luego la función costo marginal y así evaluarla finalmente en el valor indicado.

Mostrar Paso a Paso (ítem A)

i) Partimos de la definición de función de costo promedio para obtener la expresión de la función costo. $${\bar{C}}_{(q)}=\frac{{C}_{(q)}}{q}$$

Mostrar Pasos Intermedios 1 (ítem A.i)

Multiplicamos miembro a miembro por q. $${q}{\bar{C}}_{(q)}={q}\frac{{C}_{(q)}}{q}$$ Simplificamos la expresion.

$${C}_{(q)}={q}{\bar{C}}_{(q)}$$

Mostrar Pasos Intermedios 2 (ítem A.i)

$${C}_{(q)}={q}\ \left(0,0001\ q^2-0,02\ q+5+\frac{5.000}{q}\right)$$ Realizamos la operación indicada aplicando la propiedad distributiva de los números reales de la multiplicación respecto de la suma. $${C}_{(q)}=0,0001\ q^2\ q-0,02\ q\ q+5\ q+\frac{5.000}{q}\ q$$ Simplificamos la expresión para obtener la función costo.

$${C}_{(q)}=0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000$$ ii) Obtenemos la función costo marginal a partir de la función costo.
$${C'}_{(q)}=\frac{dC}{dq}=\frac{d}{dq}\left(0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000\right)$$

Mostrar Pasos Intermedios 3 (ítem A.ii)

Diferenciamos los sumandos término a término. $$\frac{dC}{dq}=\frac{d}{dq}\left(0,0001\ q^3\right)-\frac{d}{dq}\left(0,02\ q^2\right)+\frac{d}{dq}\left(5\ q\right)+\frac{d}{dq}\left(5.000\right)$$ Sacamos como factor a las constantes aplicando la regla de la cadena.

$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)+\left(\frac{d}{dq}\left(5.000\right)\right)$$

Mostrar Pasos Intermedios 4 (ítem A.ii)

La derivada de 5.000 es cero. $$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)+0$$ Simplificamos la expresión. $$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)$$

La derivada de q es 1. (Mostrar por qué)

Porque aplicamos la derivada de la potencia para n=1. $$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q^1)=1\ q^{1-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q)=q^0$$ $$\frac{d}{dq}(q)=1$$ Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.

$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ (1)$$

Usamos la regla de la potencia con n=2 para derivar el segundo sumando. (Mostrar cómo hacerlo)

$$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q^{2-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q^1$$ $$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q$$ Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.

$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ (2\ q)+5$$ Simplificamos la expresión. $$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,04\ q+5$$

Usamos la regla de la potencia con n=3 para derivar el primer sumando. (Mostrar cómo hacerlo)

$$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q^3)=3\ q^{3-1}$$ $$\frac{d}{dq}(q^3)=3\ q^2$$ Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.

$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ (3\ q^2)-0,04\ q+5$$ Simplificamos la expresión para obtener la función derivada de la función costo. A esta función se la denomina costo marginal, que es la razón instantánea de cambio de la función costo.

$$\frac{dC}{dq}=0,0003\ q^2-0,04\ q+5$$ iii) Evaluamos esta expresión para q=50.

Mostrar Pasos Intermedios 5 (ítem A.iii)

$${C'}_{(50)}=0,0003\ (50)^2-0,04\ (50)+5$$ $${C'}_{(50)}=0,0003\ (2.500)-2+5$$

$${C'}_{(50)}=0,75-2+5$$

Mostrar Respuesta (ítem A)

El costo marginal para una producción de 50 unidades es 3,75.

B) ¿Qué interpretación económica tiene el valor obtenido? (Mostrar respuesta)

Este valor representa el costo de producir la unidad 51.

C) ¿Sabiendo que el ingreso por 50 unidades es 6.776,25 ¿cuál es la utilidad total por la venta de 50 unidades? (Mostrar cómo resolver)

Mostrar Estrategia de Resolución (ítem C)

Utilizar la ecuación que vincula utilidad, ingreso y costo. Ingreso es dato, costo para q=50 lo podemos hallar a partir de resultados anteriores.

Mostrar Paso a Paso (ítem C)

i) Hallamos el costo para 50 unidades usando para ello la ecuación de costo hallada anteriormente. $${C}_{(q)}=0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000$$ Evaluamos esta expresión para q=50.

Mostrar Pasos Intermedios 1 (ítem C.i)

$${C}_{(50)}=0,0001\ (50)^3-0,02\ (50)^2+5\ (50)+5.000$$ $${C}_{(50)}=0,0001\ (125.000)-0,02\ (2.500)+250+5.000$$ Simplificamos la expresión.

$${C}_{(50)}=12,5-50+250+5.000$$ $${C}_{(50)}=5.212,5$$ ii) Calculamos la utilidad para q=50 y recordando que la utilidad (U) resulta de los ingresos (I) menos los costos (C). $${U}_{(q)}={I}_{(q)}-{C}_{(q)}$$ $${U}_{(50)}=6.776,25-5.212,5$$

Mostrar Respuesta (ítem C)

La utilidad por la venta de 50 unidades es 1.536,75.