Fuente: Gustavo Díaz Vélez (Ejercicio de Parcial de Matemática I en Universidad Nacional de Moreno, 2013)
Brevísima introducción al Cálculo Diferencial e Integral aplicado a la Economía (Prezi)
Si la ecuación de costo promedio de un fabricante es: $${\bar{C}}_{(q)}=0,0001\ q^2-0,02\ q+5+\frac{5.000}{q}$$
Hallamos primero la función costo para calcular luego la función costo marginal y así evaluarla finalmente en el valor indicado.
i) Partimos de la definición de función de costo promedio para obtener la expresión de la función costo.
$${\bar{C}}_{(q)}=\frac{{C}_{(q)}}{q}$$
$${C'}_{(q)}=\frac{dC}{dq}=\frac{d}{dq}\left(0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000\right)$$
Multiplicamos miembro a miembro por q.
$${q}{\bar{C}}_{(q)}={q}\frac{{C}_{(q)}}{q}$$
Simplificamos la expresion.
$${C}_{(q)}={q}{\bar{C}}_{(q)}$$
$${C}_{(q)}={q}\ \left(0,0001\ q^2-0,02\ q+5+\frac{5.000}{q}\right)$$
Realizamos la operación indicada aplicando la propiedad distributiva de los números reales de la multiplicación respecto de la suma.
$${C}_{(q)}=0,0001\ q^2\ q-0,02\ q\ q+5\ q+\frac{5.000}{q}\ q$$
Simplificamos la expresión para obtener la función costo.
$${C}_{(q)}=0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000$$
ii) Obtenemos la función costo marginal a partir de la función costo.$${C'}_{(q)}=\frac{dC}{dq}=\frac{d}{dq}\left(0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000\right)$$
Diferenciamos los sumandos término a término.
$$\frac{dC}{dq}=\frac{d}{dq}\left(0,0001\ q^3\right)-\frac{d}{dq}\left(0,02\ q^2\right)+\frac{d}{dq}\left(5\ q\right)+\frac{d}{dq}\left(5.000\right)$$
Sacamos como factor a las constantes aplicando la regla de la cadena.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)+\left(\frac{d}{dq}\left(5.000\right)\right)$$
La derivada de 5.000 es cero.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)+0$$
Simplificamos la expresión.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ \left(\frac{d}{dq}\left(q\right)\right)$$
$$\frac{dC}{dq}=0,0003\ q^2-0,04\ q+5$$
iii) Evaluamos esta expresión para q=50.
Porque aplicamos la derivada de la potencia para n=1.
$$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q^1)=1\ q^{1-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q)=q^0$$
$$\frac{d}{dq}(q)=1$$
Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^2\right)\right)+5\ (1)$$
$$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q^{2-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q^1$$
$$\frac{d}{dq}(q^2)=2\ q$$
Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,02\ (2\ q)+5$$
Simplificamos la expresión.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ \left(\frac{d}{dq}\left(q^3\right)\right)-0,04\ q+5$$
$$\frac{d}{dq}(q^n)=n\ q^{n-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q^3)=3\ q^{3-1}$$
$$\frac{d}{dq}(q^3)=3\ q^2$$
Reemplazamos este resultado en el lugar correspondiente de la expresión que venimos trabajando.
$$\frac{dC}{dq}=0,0001\ (3\ q^2)-0,04\ q+5$$
Simplificamos la expresión para obtener la función derivada de la función costo. A esta función se la denomina costo marginal, que es la razón instantánea de cambio de la función costo.
$${C'}_{(50)}=0,0003\ (50)^2-0,04\ (50)+5$$
$${C'}_{(50)}=0,0003\ (2.500)-2+5$$
$${C'}_{(50)}=0,75-2+5$$
El costo marginal para una producción de 50 unidades es 3,75.
Este valor representa el costo de producir la unidad 51.
Utilizar la ecuación que vincula utilidad, ingreso y costo. Ingreso es dato, costo para q=50 lo podemos hallar a partir de resultados anteriores.
i) Hallamos el costo para 50 unidades usando para ello la ecuación de costo hallada anteriormente.
$${C}_{(q)}=0,0001\ q^3-0,02\ q^2+5\ q+5.000$$
Evaluamos esta expresión para q=50.
$${C}_{(50)}=0,0001\ (50)^3-0,02\ (50)^2+5\ (50)+5.000$$
$${C}_{(50)}=0,0001\ (125.000)-0,02\ (2.500)+250+5.000$$
Simplificamos la expresión.
$${C}_{(50)}=12,5-50+250+5.000$$
$${C}_{(50)}=5.212,5$$
ii) Calculamos la utilidad para q=50 y recordando que la utilidad (U) resulta de los ingresos (I) menos los costos (C).
$${U}_{(q)}={I}_{(q)}-{C}_{(q)}$$
$${U}_{(50)}=6.776,25-5.212,5$$
La utilidad por la venta de 50 unidades es 1.536,75.
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