Fuente: Matrices y Determinantes, Earl W. Swokowski, Grupo Editorial Iberoamérica.
Un químico tiene tres soluciones que contienen un cierto ácido. La primera solución contiene 10% de la sustancia ácida; la segunda, 30% y la tercera, 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 50 litros que contenga 32% de ácido, utilizando dos veces más de la solución de 50% que de la de 30%.
Con los datos brindados construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss para resolverlo.
i) Construimos el sistema de ecuaciones.
Identificamos las variables en función de la pregunta del problema.
$${V}_{1}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 1$$
$${V}_{2}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 2$$
$${V}_{3}=\ volumen\ de\ la\ solución\ 3$$
Se pueden construir sólo dos ecuaciones con los datos del enunciado. La primera ecuación expresa la composición porcentual del ácido de la mezcla final.
$$0,1\ {V}_{1}+0,3\ {V}_{2}+0,5\ {V}_{3}=16$$
Es el 32% de ácido de la mezcla resultante de 50 litros.
La segunda ecuación expresa la composición del volumen final en función de la restricciones indicadas.
La suma de los volúmenes debe componer 50 litros de la mezcla.
$${V}_{1}+{V}_{2}+{V}_{3}=50$$
Según la consigna, el volumen de la solución 3 es dos veces el volumen de la solución dos.
$${V}_{1}+{V}_{2}+2\ {V}_{2}=50$$
$${V}_{1}+3\ {V}_{2}=50$$
Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que ambas restricciones deben ser satisfechas simultáneamente.
$$\begin{cases}0,1\ {V}_{1}&+0,3\ {V}_{2}&+0,5\ {V}_{3}&=16\\{V}_{1}&+3\ {V}_{2}&&=50\end{cases}$$
ii) Generamos la matriz del sistema.
\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1 & 3 & 0 & 50\end{pmatrix}
Utilizando el teorema de transformaciones elementalaes de las filas de una matriz, formamos una matriz escalonada (método de Gauss).
\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1-10\ (0,1)& 3-10\ (0,3) & 0-10\ (0,5) & 50-10\ (16)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 1-1& 3-3 & 0-5 & 50-160\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0,1 & 0,3 & 0,5 & 16\cr 0 & 0 & -5 & -110\end{pmatrix}
Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado.
$$\begin{cases}0,1\ {V}_{1}&+0,3\ {V}_{2}&+0,5\ {V}_{3}&=16\\&&-5\ {V}_{3}&=-110\end{cases}$$
$$\frac{-5\ {V}_{3}}{-5}=\frac{-110}{-5}$$
$${V}_{3}=\frac{-110}{-5}$$
$${V}_{3}=22$$
Como en la mezcla final se utilizó dos veces más de la solución 3 que de la solución 2, entonces:
$${V}_{2}=\frac{{V}_{3}}{2}$$
$${V}_{2}=11$$
$${V}_{1}+11+22=50$$
$${V}_{1}+11+22-11-22=50-11-22$$
$${V}_{1}=50-11-22$$
$${V}_{1}=17$$
$$S=({V}_{1};{V}_{2};{V}_{3})=(17;11;22)$$
Similar: Ejemplo 4, Sección 3.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales, p. 143, Matemáticas para Administración y Economía, Haeussler, Jr. y Otros, 12° ed., Pearson Prentice Hall.
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