Fuente: Matemáticas 2, Martínez-Mediano y Otros, Mc Graw Hill.
Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años. Si la media de sus edades es de 18,5 años, ¿cuántos alumnos hay de cada edad si de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años?
Resolver aplicando el método de Gauss.
Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss.
Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
X = Cantidad de alumnos de 18 años.
Y = Cantidad de alumnos de 19 años.
Z = Cantidad de alumnos de 20 años.
Primer ecuación: "Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años". $$X+Y+Z=32$$ Segunda ecuación: "... la media de sus edades es de 18,5 años". $$\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}=18,5$$ Tercer ecuación: "... de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años". $$X=Y+Z+6$$
X = Cantidad de alumnos de 18 años.
Y = Cantidad de alumnos de 19 años.
Z = Cantidad de alumnos de 20 años.
Primer ecuación: "Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años". $$X+Y+Z=32$$ Segunda ecuación: "... la media de sus edades es de 18,5 años". $$\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}=18,5$$ Tercer ecuación: "... de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años". $$X=Y+Z+6$$
Planteamos el sistema de ecuaciones.
$$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}&=18,5\\X&=Y+Z+6\end{cases}$$
Por conveniencia, reescribimos la matriz realizando unas operaciones algebraicas. (Mostrar)
$$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}\ (32)&=18,5\ (32)\\X-Y-Z&=Y+Z+6-Y-Z\end{cases}$$
$$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\18\ X&+19\ Y&+20\ Z&=592\\X&-Y&-Z&=6\end{cases}$$
Generamos la matriz del sistema.
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18 & 19 & 20 & 592\cr 1 & -1 & -1 & 6\end{pmatrix}$$
A la tercer fila la reemplazamos por le resta de la primera y la tercera. A la segunda la reemplazamos por la resta de la segunda fila y 18 veces la primera.
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-(18x1) & 19-(18x1) & 20-(18x1) & 592-(18x32)\cr 1-1 & 1-(-1) & 1-(-1) & 32-6\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-18 & 19-18 & 20-18 & 592-576\cr 0 & 1+1 & 1+1 & 26\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 2 & 2 & 26\end{pmatrix}$$
Por último, reemplazamos nuevamente la tercer fila por la resta entre la tercera y 2 veces la segunda.
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-(2x0) & 2-(2x1) & 2-(2x2) & 26-(2x16)\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-0 & 2-2 & 2-4 & 26-32\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$
Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado.
$$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\&+Y&+2\ Z&=16\\&&-2\ Z&=-6\end{cases}$$
$$\frac{-2\ Z=}{-2}=\frac{-6}{-2}$$
$$Z=3$$
$$Y+2\ (3)=16$$
$$Y+6=16$$
$$Y+6-6=16-6$$
$$Y=10$$
$$X+10+3=32$$
$$X+13=32$$
$$X+13-13=32-13$$
$$X=19$$
La cantidad de alumnos de 18 años es 19.
La cantidad de alumnos de 19 años es 10.
La cantidad de alumnos de 20 años es 3.
La cantidad de alumnos de 19 años es 10.
La cantidad de alumnos de 20 años es 3.
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