Fuente: Matrices y Determinantes, Earl W. Swokowski, Grupo Editorial Iberoamérica.
Una piscina puede ser llenada mediante tres tubos de suministro de agua: A, B y C. El tubo A puede llenarla en 8 horas. Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas. Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina si se emplean A, B y C al mismo tiempo?
Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss. La clave es plantear las ecuaciones en proporción de volumen de pileta cubierta por hora de llenado.
Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
A = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo A de suministro de agua.
B = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo B.
C = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo C.
Primer ecuación: "El tubo A puede llenarla en 8 horas". Esto significa que en una hora completará 1/8 de pileta: $$A=\frac{1}{8}$$ Segunda ecuación: "Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/6 de pileta. $$A+C=\frac{1}{6}$$ Tercer ecuación: "Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/10 de pileta. $$B+C=\frac{1}{10}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que las tres restricciones deben ser satisfechas simultáneamente. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\\A+C=\frac{1}{6}\\B+C=\frac{1}{10}\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\end{pmatrix}$$
A = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo A de suministro de agua.
B = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo B.
C = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo C.
Primer ecuación: "El tubo A puede llenarla en 8 horas". Esto significa que en una hora completará 1/8 de pileta: $$A=\frac{1}{8}$$ Segunda ecuación: "Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/6 de pileta. $$A+C=\frac{1}{6}$$ Tercer ecuación: "Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/10 de pileta. $$B+C=\frac{1}{10}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que las tres restricciones deben ser satisfechas simultáneamente. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\\A+C=\frac{1}{6}\\B+C=\frac{1}{10}\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\end{pmatrix}$$
Por conveniencia, reordenamos la matriz intercambiando la segunda y tercer fila.
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}$$
Formamos una matriz escalonada (método de Gauss),
transformando la última fila de la matriz restándole la primera fila. (Mostrar)
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr (1-1) & (0-0) & (1-0) & \frac{1}{6}-\frac{1}{8}\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 0 & 0 & 1 & \frac{1}{24}\end{pmatrix}$$
Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado.
$$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\cr B+C=\frac{1}{10}\cr C=\frac{1}{24}\end{cases}$$
$$B+C-C=\frac{1}{10}-C$$
$$B=\frac{1}{10}-C$$
$$B=\frac{1}{10}-\frac{1}{24}$$
$$B=\frac{24-10}{240}$$
$$B=\frac{14}{240}$$
$$B=\frac{7}{120}$$
$$A+B+C=\frac{1}{8}+\frac{7}{120}+\frac{1}{24}$$
$$A+B+C=\frac{15+7+5}{120}$$
$$A+B+C=\frac{27}{120}$$
Si ...
$$\frac{27}{120}$$
... partes de la pileta se completan en una hora utilizando los tres tubos de suministro de agua, entonces (por regla de tres), la piscina se completará en:
$$x=\frac {1\ h\ 1\ parte(s)\ de\ piscina}{\frac{27}{120}\ parte(s)\ de\ piscina}$$
Utilizando los tres tubos de suministro de agua, A, B y C, la piscina se llenará en:
$$\frac{120}{27}\ h= 4,\hat 4\ h$$
No hay comentarios.:
Publicar un comentario