12 - \((g \circ f)_{(1)}\)

Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

Sean:

• \(f_{(x)}=ax+4\)
• \(g_{(x)}=\frac {x+2}{-2x+5}\)

1. Hallar el valor de \(a\ \epsilon\ R\) de manera que \((g \circ f)_{(1)}=-1\) (mostrar resolución)
   Primero hallamos \((g \circ f)_{(1)}\)
   $$(g \circ f)_{(x)}=g_{\left( f_{(x)}\right )}=\frac {(ax+4)+2}{-2(ax+4)+5}$$ $$(g \circ f)_{(1)}=g_{\left( f_{(1)}\right )}=\frac {(a+4)+2}{-2(a+4)+5}=\frac {a+6}{-2a-8+5}=\frac {a+6}{-(2a+3)}$$ Ahora hallamos \(a\) sabiendo que \((g \circ f)_{(1)}=-1\)
   $$(g \circ f)_{(1)}=\frac {a+6}{-2a-8+5}=\frac {a+6}{-(2a+3)}=-1$$ Sólo si \(a \ne -\frac {3}{2}\) (¿por qué?) podemos realizar la siguiente operación para hallar \(a\) $$-(a+6)=-(2a+3)$$ $$a+6=2a+3$$ $$6-3=2a-a$$ $$3=a$$
2. Para el valor de \(a\) encontrado, calcular \((f \circ g)_{(1)}\) (mostrar resolución)
   Sabiendo que \(a=3\) resulta \(f_{(x)}=3x+4\) $$(f \circ g)_{(x)}=f_{\left( g_{(x)}\right )}=3\overbrace {\left (\frac {x+2}{-2x+5}\right )}^{x\ de\ f_{(x)}}_{g_{(x)}}+4$$ Luego
   $$(f \circ g)_{(1)}=f_{\left( g_{(1)}\right )}=3\left [\frac {1+2}{-2(1)+5}\right ]+4=3\left (\frac {3}{-2+5}\right )+4=\frac {9}{3}+4=\frac {9}{3}+\frac {12}{3}=\frac {21}{3}$$