10 - Aproximación de ceros o raíces de una función

Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

Aproximar con error menor a \(0,01\) un cero de \(f\) en el intervalo indicado:
a) \(f_{(x)}=2x^3-2x^2+x+3\ \) en \((-1;0)\) (mostrar resolución)

Es una función polinómica de grado 3 y como toda función polinómica es una función continua, resolveremos este ejercicio haciendo uso del Método de Bisección.
Además debemos hallarlo con un error determinado, así que emplearemos recursos de la teoría de errores.
La estrategia consiste en ir seleccionando sucesivamente intervalos cada vez más pequeños, de tal manera que las imágenes de los extremos tomen valores de diferente signo; el teorema de Bolzano garantiza que existirá un valor intermedio donde la función sea nula.
Pero eso no lo haremos indefinidamente sino que nos bastará hallar un valor del dominio de la función con un error menor a 0,01 cuya imagen sea aproximadamente igual a cero.


Iteración 1
Intervalo considerado: \([-1;0]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

En este caso, por el enunciado sabemos que hay una raíz en este intervalo.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{(0)}=3\) (mostrar por qué esto es favorable)

Las imágenes de los extremos toman valores de diferentes signos, confirmando en este caso, lo que ya sabíamos por el enunciado; por consiguiente podemos aplicar el teorema de Bolzano, sabiendo que algún valor intermedio hará que la función sea nula, es decir que algún valor del intervalo será el cero o raíz de la función.

(mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {1}{2}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Para poder calcular el error, tenemos que determinar el valor que tomamos como exacto y el valor aproximado. Podríamos elegir cualquier valor intermedio para el valor que tomaremos como exacto, pero para ser metódicos elegiremos siempre el valor medio del intervalo.

Valor aproximado: \(-1\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Para poder calcular el error, tenemos que determinar el valor que tomamos como exacto y el valor aproximado. Elegimos uno de los dos extremos como valor aproximado, aunque para ser metódicos escogeremos aquél cuya imagen esté más próxima a cero.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {1}{2}-(-1)\right|}{\left|-\frac {1}{2}\right|}=\frac {\left|\frac {1}{2}\right|}{\left|-\frac {1}{2}\right|}=\frac {1}{2}.\frac {2}{1}=\frac {1}{1}=1\nless 0,01$$ Como no obtuvimos el valor deseado de error, debemos seguir iterando.

Iteración 2
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-1;-\frac {1}{2}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {1}{2}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva \(\left(\frac {7}{4}\right)\) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-2\)); por el teorema de Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{\left(-\frac {1}{2}\right)}=\frac {7}{4}=1,75\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{2}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{4}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-1+\frac {1}{4}=\frac {-4+1}{4}=-\frac {3}{4}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {-2-1}{4}=-\frac {3}{4}$$

Valor aproximado: \(-\frac {1}{2}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {3}{4}-\left(-\frac {1}{2}\right)\right|}{\left|-\frac {3}{4}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{4}\right|}{\left|-\frac {3}{4}\right|}=\frac {1}{4}.\frac {4}{3}=\frac {1}{3} \approx 0,333 \nless 0,01$$ Como no obtuvimos el valor deseado de error, debemos seguir iterando.

Iteración 3
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-1;-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva (\(0,28\)) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-2\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {7}{8}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{4}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{8}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-1+\frac {1}{8}=\frac {-8+1}{8}=-\frac {7}{8}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{8}=\frac {-6-1}{8}=-\frac {7}{8}$$

Valor aproximado: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {7}{8}-\left(-\frac {3}{4}\right)\right|}{\left|-\frac {7}{8}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{8}\right|}{\left|-\frac {7}{8}\right|}=\frac {1}{8}.\frac {8}{7}=\frac {1}{7} \approx 0,143 \nless 0,01$$ Iteración 4
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {7}{8};-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {7}{8}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es negativa \(\left(-\frac {3}{4}\right)\) y la imagen del otro extremo es positiva (\(0,28\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {7}{8}\right)}=-\frac {3}{4}=-0,75\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {13}{16}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{8}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{16}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {7}{8}+\frac {1}{16}=\frac {-14+1}{16}=-\frac {13}{16}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{16}=\frac {-12-1}{16}=-\frac {13}{16}$$

Valor aproximado: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {13}{16}-\left(-\frac {3}{4}\right)\right|}{\left|-\frac {13}{16}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{16}\right|}{\left|-\frac {13}{16}\right|}=\frac {1}{16}.\frac {16}{13}=\frac {1}{13} \approx 0,077 \nless 0,01$$ Iteración 5
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {13}{16};-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que su imagen es negativa (\(-0,21\)) y la imagen del otro extremo es positiva (\(0,28\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}=-0,21\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{16}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{32}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {13}{16}+\frac {1}{32}=\frac {-26+1}{32}=-\frac {25}{32}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{32}=\frac {-24-1}{32}=-\frac {25}{32}$$

Valor aproximado: \(-\frac {13}{16}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo izquierdo del intervalo está más próxima a cero que la del extremo derecho.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {25}{32}-\left(-\frac {13}{16}\right)\right|}{\left|-\frac {25}{32}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{32}\right|}{\left|-\frac {25}{32}\right|}=\frac {1}{32}.\frac {32}{25}=\frac {1}{25} = 0,04 \nless 0,01$$ Iteración 6
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {13}{16};-\frac {25}{32}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva (\(0,04)\) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-0,21)\); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}=-0,21\); \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}=0,04\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {51}{64}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{32}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{64}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {13}{16}+\frac {1}{64}=\frac {-52+1}{64}=-\frac {51}{64}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {25}{32}-\frac {1}{64}=\frac {-50-1}{64}=-\frac {51}{64}$$

Valor aproximado: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {51}{64}-\left(-\frac {25}{32}\right)\right|}{\left|-\frac {51}{64}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{64}\right|}{\left|-\frac {51}{64}\right|}=\frac {1}{64}.\frac {64}{51}=\frac {1}{51} \approx 0,02 \nless 0,01$$ Iteración 7
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {51}{64};-\frac {25}{32}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {51}{64}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que que es negativa (\(-0,04)\) y la imagen del otro extremo es postiva (\(0,04)\); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {51}{64}\right)}=-0,04\); \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}=0,04\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {101}{128}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{64}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{128}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {51}{64}+\frac {1}{128}=\frac {-102+1}{128}=-\frac {101}{128}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {25}{32}-\frac {1}{128}=\frac {-100-1}{128}=-\frac {101}{128}$$

valor aproximado: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Por azar. Aquí da lo mismo escoger uno u otro valor porque las imágenes de ambos distan lo mismo a cero.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{(relativo}=\frac {\left|-\frac {101}{128}-\left(-\frac {25}{32}\right)\right|}{\left|-\frac {101}{128}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{128}\right|}{\left|-\frac {101}{128}\right|}=\frac {1}{128}.\frac {128}{101}=\frac {1}{101} \approx 0,001 \lt 0,01$$
Por consiguiente en \(x=-\frac {101}{128}\) hay un cero de \(f\) con un error menor a \(0,01\).

Ejercicios propuestos para aproximar raíces:
b) \(f_{(x)}=-x^3+4x+8\ \) en \((2;3)\)
c) \(f_{(x)}=x^4+x^2+x-6\ \) en \((1;2)\)