13 - Inecuación de módulos

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los valores de \(x\) que satisfacen la inecuación \(|3x-1|<|x-4|\) Resolver:

1. Gráficamente (mostrar resolución gráfica)
   Graficamos las dos funciones módulo y la solución serán todos los valores del dominio en los cuales las imágenes de la función módulo de la izquierda "está por debajo" de las imágenes de la función módulo de la derecha (región sombreada).
   
   

   

   
   
2. Analíticamente (mostrar resolución analítica)
   Elevamos al cuadraro ambos miembros de la desigualdad: \(|3x-1|^2<|x-4|^2\)
   O, lo que es lo mismo en este caso: \((3x-1)^2<(x-4)^2\)
   Desarrollamos los cuadrados: $$(3x)^2+2(3x)(-1)+(-1)^2\lt x^2+2(x)(-4)+(-4)^2$$ $$9x^2-6x+1\lt x^2-8x+16$$ $$9x^2-x^2-6x+8x+1-16\lt 0$$ $$8x^2+2x-15\lt 0$$ Hallemos las raíces para escribir esta cuadrática en su forma factorizada y poder realizar un mejor análisis. Para ello, primero calculamos las raíces de esta cuadrática (mostrar la fórmula para calcular las raíces de una cuadrática).

   $$x_{1;2}=\frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Para nuestro problema \(a=8\), \(b=2\) y \(c=-15\)
   
   

   $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{2^2-4(8)(-15)}}{2(8)}$$ $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{484}}{16}$$ $$\eqalign{ x_1 &= \frac {-2-22}{16} &= \frac {-24}{16} &= -\frac {3}{2}\cr x_2 &= \frac {-2+22}{16} &= \frac {20}{16} &= \frac {5}{4} }$$ Reescribiendo la ecuación a su forma factorizada tenemos: $$8\left (x+\frac {3}{2}\right )\left (x-\frac {5}{4}\right )<0$$ Llegado este punto podemos realizar un nuevo análisis gráfico (mostrar resolución gráfica)

   Veamos la gráfica y observemos que los valores del dominio de esta función que hacen que la misma tome valores negativos serán los puntos solución de nuestro problema.
   
   

   

   
   

   o analítico (mostrar resolución analítica)

   Aquí debemos analizar los signos de cada multiplicando para determinar cuándo la función toma valores positivos y cuándo negativos. A la constante 8 la excluiremos del análisis dado que es un valor constante y de signo positivo. Por consiguiente queda analizar qué pasa con el signo de esta cuadrática si \(x\lt -\frac {3}{2}\), si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) y si \(x\gt \frac {5}{4}\).

   • Si \(x\lt -\frac {3}{2}\)
     Por un lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x+\frac {3}{2}\lt 0\).
     Por otro lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x-\frac {5}{4}\lt -\frac {3}{2}-\frac {5}{4}=-\frac {11}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(x\lt -\frac {3}{2}\) ambos multiplicandos son negativos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies 0\lt x+\frac {3}{2}\lt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\).
     Por otro lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies -\frac {11}{4}=-\frac {3}{2}-\frac {5}{4}\lt x-\frac {5}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) tenemos que \(x+\frac {3}{2}\) es positivo y \(x-\frac {5}{4}\) es negativo; por ende, la cuadrática toma valores negativos para este intervalo. Por lo tanto todos estos valores son solución de nuestro ejercicio pues verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(x\gt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x-\frac {5}{4}\gt 0\).
     Por otro lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x+\frac {3}{2}\gt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\gt 0\).
     Entonces, para \(x\gt \frac {5}{4}\) ambos multiplicandos son positivos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     

   para determinar que el conjunto solución es \(S=\left\lbrace x/x\ \epsilon R\land -\frac {3}{2} \lt x \lt \frac {5}{4}\right\rbrace \)