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martes, 3 de septiembre de 2013

Método de Bisección \(\frac {divide\ et}{impera}\)

Uno de los problemas típicos del análisis matemático es la búsqueda de ceros o raíces de una ecuación. Un cero o raíz de una función es un valor del dominio para el cual la imagen es cero. En otras palabras, se busca la intersección de la representación gráfica de la función con el eje de las abscisas. El problema consiste en encontrar los valores de las variable \(x\) que satisfacen la ecuación \(f_{(x)}=0\)
El método de bisección se utiliza para hallar raíces de funciones continuas basándose en el teorema de Bolzano (corolario del teorema del valor intermedio) y adquiere especial importancia en la aproximación de raíces no exactas.

El método consiste en:
  1. Separación de raíces en intervalos de tal manera que contengan una y sola una raíz de la función y que la misma no sea ni \(x=a\) ni \(x=b\).
  2. Asegurarse de la continuidad de la función en dichos intervalos.
  3. Si se cumplen los dos ítems anteriores, entonces tendremos un intervalo \([a;b]\) y \(f_{(c)}=0\), con \(a\lt c \lt b\). Por el teorema de Bolzano entonces se verificará que \(f_{(a)}.f_{(b)}\lt 0\) (esto es una manera elegante de comprobar que las imágenes de los extremos son de signos opuestos).
  4. Mejorar por iteración los valores de las raíces aproximadas de tal manera que presenten el error de exactitud deseado.
    • Se calcula el punto medio (llamémoslo \(m\)) del intervalo \([a;b]\).
    • Si \(f_{(m)}=0\) entonces hemos encontrado la raíz buscada.
    • Si \(f_{(m)}\ne 0\) verificamos si \(f_{(m)}\) tiene signo opuesto a \(f_{(a)}\) o a \(f_{(b)}\).
    • En función del ítem anterior se redefine el intervalo a \([a;m]\) o \([m;b]\).
    • Se itera nuevamente con este intervalo encerrando a la solución en un intervalo cada vez más pequeño hasta alcanzar la precisión deseada.

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