Guilloche o guilloché

Matemática en el papel moneda

Es una técnica decorativa de grabados de patrones de diseño repetitivos, complejos y de alta precisión que se utilizan en diferentes sustratos tales como metales y principalmente papel. Se utilizan en documentos y especies valoradas dado que su realización artesanal es dificultosa, desalentando así la copia por este medio. Sus principales aplicaciones son documentos de seguridad gráfica tales como billetes, pasaportes y documentos varios (documentos de identificación, títulos de propiedad, certificados, diplomas, documentos fiscales, legales, jurídicos, etc.)

Los guilloches pueden representarse mediante curvas que describen puntos que se ubican sobre un eje radial de una circunferencia que se desplaza sobre otras curvas. Estos puntos pueden ser interiores a la circunferencia, exteriores o bien pueden estar sobre ella. Y la curva sobre la que se desplazan pueden ser rectas, el interior o exterior de otra circunferencia y, en general cualquier otra curva.

Partiendo de este concepto, si ahora pensamos en una figura geométrica diferente que rueda sin deslizarse sobre otra curva cualquiera, las posibilidades son infinitas. Imaginemos por ejemplo un punto sobre una elipse (o mejor aún, un punto en el interior o exterior a la misma) describiendo una curva mientras se desliza por fuera de otra elipse o por dentro de una circunferencia.
Para pensar les dejo la idea de cómo podríamos aplicar todos estos conceptos en un espacio tridimensional, considerando puntos que describan curvas tridimensionales al deslizarse sobre otras superficies o inclusos otros cuerpos tridimensionales; o mejor aún reemplazar el punto con figuras bidimensionales que describan cuerpos o superficies de revolución / rotación conforme el cuerpo tridimensional se deslice sobre otra curva u otro cuerpo tridimensional. ¿Para qué podría ser útil esto?

13 - Inecuación de módulos

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los valores de \(x\) que satisfacen la inecuación \(|3x-1|<|x-4|\) Resolver:

1. Gráficamente (mostrar resolución gráfica)
   Graficamos las dos funciones módulo y la solución serán todos los valores del dominio en los cuales las imágenes de la función módulo de la izquierda "está por debajo" de las imágenes de la función módulo de la derecha (región sombreada).
   
   

   

   
   
2. Analíticamente (mostrar resolución analítica)
   Elevamos al cuadraro ambos miembros de la desigualdad: \(|3x-1|^2<|x-4|^2\)
   O, lo que es lo mismo en este caso: \((3x-1)^2<(x-4)^2\)
   Desarrollamos los cuadrados: $$(3x)^2+2(3x)(-1)+(-1)^2\lt x^2+2(x)(-4)+(-4)^2$$ $$9x^2-6x+1\lt x^2-8x+16$$ $$9x^2-x^2-6x+8x+1-16\lt 0$$ $$8x^2+2x-15\lt 0$$ Hallemos las raíces para escribir esta cuadrática en su forma factorizada y poder realizar un mejor análisis. Para ello, primero calculamos las raíces de esta cuadrática (mostrar la fórmula para calcular las raíces de una cuadrática).

   $$x_{1;2}=\frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Para nuestro problema \(a=8\), \(b=2\) y \(c=-15\)
   
   

   $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{2^2-4(8)(-15)}}{2(8)}$$ $$x_{1;2}=\frac {-2 \pm \sqrt{484}}{16}$$ $$\eqalign{ x_1 &= \frac {-2-22}{16} &= \frac {-24}{16} &= -\frac {3}{2}\cr x_2 &= \frac {-2+22}{16} &= \frac {20}{16} &= \frac {5}{4} }$$ Reescribiendo la ecuación a su forma factorizada tenemos: $$8\left (x+\frac {3}{2}\right )\left (x-\frac {5}{4}\right )<0$$ Llegado este punto podemos realizar un nuevo análisis gráfico (mostrar resolución gráfica)

   Veamos la gráfica y observemos que los valores del dominio de esta función que hacen que la misma tome valores negativos serán los puntos solución de nuestro problema.
   
   

   

   
   

   o analítico (mostrar resolución analítica)

   Aquí debemos analizar los signos de cada multiplicando para determinar cuándo la función toma valores positivos y cuándo negativos. A la constante 8 la excluiremos del análisis dado que es un valor constante y de signo positivo. Por consiguiente queda analizar qué pasa con el signo de esta cuadrática si \(x\lt -\frac {3}{2}\), si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) y si \(x\gt \frac {5}{4}\).

   • Si \(x\lt -\frac {3}{2}\)
     Por un lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x+\frac {3}{2}\lt 0\).
     Por otro lado, si \(x\lt -\frac {3}{2}\implies x-\frac {5}{4}\lt -\frac {3}{2}-\frac {5}{4}=-\frac {11}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(x\lt -\frac {3}{2}\) ambos multiplicandos son negativos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies 0\lt x+\frac {3}{2}\lt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\).
     Por otro lado, si \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\implies -\frac {11}{4}=-\frac {3}{2}-\frac {5}{4}\lt x-\frac {5}{4}\lt 0\).
     Entonces, para \(-\frac {3}{2}\lt x\lt \frac {5}{4}\) tenemos que \(x+\frac {3}{2}\) es positivo y \(x-\frac {5}{4}\) es negativo; por ende, la cuadrática toma valores negativos para este intervalo. Por lo tanto todos estos valores son solución de nuestro ejercicio pues verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     
   • Si \(x\gt \frac {5}{4}\)
     Por un lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x-\frac {5}{4}\gt 0\).
     Por otro lado, si \(x\gt \frac {5}{4}\implies x+\frac {3}{2}\gt \frac {5}{4}+\frac {3}{2}=\frac {11}{4}\gt 0\).
     Entonces, para \(x\gt \frac {5}{4}\) ambos multiplicandos son positivos y, por ende, la cuadrática toma valores positivos, por lo tanto todos estos valores no son solución de nuestro ejercicio pues no verifican la desigualdad de la que partimos el análisis.
     
     

   para determinar que el conjunto solución es \(S=\left\lbrace x/x\ \epsilon R\land -\frac {3}{2} \lt x \lt \frac {5}{4}\right\rbrace \)
   

12 - \((g \circ f)_{(1)}\)

Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

Sean:

• \(f_{(x)}=ax+4\)
• \(g_{(x)}=\frac {x+2}{-2x+5}\)

1. Hallar el valor de \(a\ \epsilon\ R\) de manera que \((g \circ f)_{(1)}=-1\) (mostrar resolución)
   Primero hallamos \((g \circ f)_{(1)}\)
   $$(g \circ f)_{(x)}=g_{\left( f_{(x)}\right )}=\frac {(ax+4)+2}{-2(ax+4)+5}$$ $$(g \circ f)_{(1)}=g_{\left( f_{(1)}\right )}=\frac {(a+4)+2}{-2(a+4)+5}=\frac {a+6}{-2a-8+5}=\frac {a+6}{-(2a+3)}$$ Ahora hallamos \(a\) sabiendo que \((g \circ f)_{(1)}=-1\)
   $$(g \circ f)_{(1)}=\frac {a+6}{-2a-8+5}=\frac {a+6}{-(2a+3)}=-1$$ Sólo si \(a \ne -\frac {3}{2}\) (¿por qué?) podemos realizar la siguiente operación para hallar \(a\) $$-(a+6)=-(2a+3)$$ $$a+6=2a+3$$ $$6-3=2a-a$$ $$3=a$$
2. Para el valor de \(a\) encontrado, calcular \((f \circ g)_{(1)}\) (mostrar resolución)
   Sabiendo que \(a=3\) resulta \(f_{(x)}=3x+4\) $$(f \circ g)_{(x)}=f_{\left( g_{(x)}\right )}=3\overbrace {\left (\frac {x+2}{-2x+5}\right )}^{x\ de\ f_{(x)}}_{g_{(x)}}+4$$ Luego
   $$(f \circ g)_{(1)}=f_{\left( g_{(1)}\right )}=3\left [\frac {1+2}{-2(1)+5}\right ]+4=3\left (\frac {3}{-2+5}\right )+4=\frac {9}{3}+4=\frac {9}{3}+\frac {12}{3}=\frac {21}{3}$$

11 - Explícita mente

Fuente: Práctica 2, Análisis Matemático I, Ingeniería Electrónica, Universidad Nacional de Moreno.

Escribir en forma explícita las funciones dadas por las siguientes ecuaciones:

• \(x^2-arccos(y)=\pi\)
• \(10^x+10^y=10\) (mostrar resolución)
  $$10^y=10-10^x$$ $$\log(10^y)=\log(10-10^x)$$ $$y\ .\ \log(10)=\log(10-10^x)$$ $$y=\log(10-10^x)$$ ¿Para qué valores de \(x\) está definida esta función?
  
  
• \(x+|y|=2y\) (mostrar resolución)
  Por definición de módulo (mostrar definición de módulo)

  $$|x| = \cases{ x & \text{si } x\ge 0\cr -x & \text{si } x\lt 0 }$$

  se puede escribir la siguiente función por partes: $$f_{(x)}=\cases{ x+y=2y & \text{si } y\ge 0\cr x-y=2y & \text{si } y\lt 0 }$$ Por consiguiente, se tiene: $$f_{(x)}=\cases{ y=x & \text{si } y\ge 0\cr y=\frac x 3 & \text{si } y\lt 0 }$$ De la primera y segunda ecuación se deduce: $$0\le y=x$$ $$0\gt y=\frac x 3$$ Por transitividad nos quedamos con los extremos de estas últimas dos expresiones y escribimos la solución del problema: $$f_{(x)}= \cases{ x & \text{si } x\ge 0\cr \frac x 3 & \text{si } x\lt 0 }$$
  

10 - Aproximación de ceros o raíces de una función

Fuente: Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

Aproximar con error menor a \(0,01\) un cero de \(f\) en el intervalo indicado:
a) \(f_{(x)}=2x^3-2x^2+x+3\ \) en \((-1;0)\) (mostrar resolución)

Es una función polinómica de grado 3 y como toda función polinómica es una función continua, resolveremos este ejercicio haciendo uso del Método de Bisección.
Además debemos hallarlo con un error determinado, así que emplearemos recursos de la teoría de errores.
La estrategia consiste en ir seleccionando sucesivamente intervalos cada vez más pequeños, de tal manera que las imágenes de los extremos tomen valores de diferente signo; el teorema de Bolzano garantiza que existirá un valor intermedio donde la función sea nula.
Pero eso no lo haremos indefinidamente sino que nos bastará hallar un valor del dominio de la función con un error menor a 0,01 cuya imagen sea aproximadamente igual a cero.


Iteración 1
Intervalo considerado: \([-1;0]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

En este caso, por el enunciado sabemos que hay una raíz en este intervalo.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{(0)}=3\) (mostrar por qué esto es favorable)

Las imágenes de los extremos toman valores de diferentes signos, confirmando en este caso, lo que ya sabíamos por el enunciado; por consiguiente podemos aplicar el teorema de Bolzano, sabiendo que algún valor intermedio hará que la función sea nula, es decir que algún valor del intervalo será el cero o raíz de la función.

(mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {1}{2}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Para poder calcular el error, tenemos que determinar el valor que tomamos como exacto y el valor aproximado. Podríamos elegir cualquier valor intermedio para el valor que tomaremos como exacto, pero para ser metódicos elegiremos siempre el valor medio del intervalo.

Valor aproximado: \(-1\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Para poder calcular el error, tenemos que determinar el valor que tomamos como exacto y el valor aproximado. Elegimos uno de los dos extremos como valor aproximado, aunque para ser metódicos escogeremos aquél cuya imagen esté más próxima a cero.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {1}{2}-(-1)\right|}{\left|-\frac {1}{2}\right|}=\frac {\left|\frac {1}{2}\right|}{\left|-\frac {1}{2}\right|}=\frac {1}{2}.\frac {2}{1}=\frac {1}{1}=1\nless 0,01$$ Como no obtuvimos el valor deseado de error, debemos seguir iterando.

Iteración 2
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-1;-\frac {1}{2}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {1}{2}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva \(\left(\frac {7}{4}\right)\) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-2\)); por el teorema de Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{\left(-\frac {1}{2}\right)}=\frac {7}{4}=1,75\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{2}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{4}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-1+\frac {1}{4}=\frac {-4+1}{4}=-\frac {3}{4}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {-2-1}{4}=-\frac {3}{4}$$

Valor aproximado: \(-\frac {1}{2}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {3}{4}-\left(-\frac {1}{2}\right)\right|}{\left|-\frac {3}{4}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{4}\right|}{\left|-\frac {3}{4}\right|}=\frac {1}{4}.\frac {4}{3}=\frac {1}{3} \approx 0,333 \nless 0,01$$ Como no obtuvimos el valor deseado de error, debemos seguir iterando.

Iteración 3
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-1;-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva (\(0,28\)) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-2\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{(-1)}=-2\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {7}{8}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{4}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{8}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-1+\frac {1}{8}=\frac {-8+1}{8}=-\frac {7}{8}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{8}=\frac {-6-1}{8}=-\frac {7}{8}$$

Valor aproximado: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {7}{8}-\left(-\frac {3}{4}\right)\right|}{\left|-\frac {7}{8}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{8}\right|}{\left|-\frac {7}{8}\right|}=\frac {1}{8}.\frac {8}{7}=\frac {1}{7} \approx 0,143 \nless 0,01$$ Iteración 4
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {7}{8};-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {7}{8}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es negativa \(\left(-\frac {3}{4}\right)\) y la imagen del otro extremo es positiva (\(0,28\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {7}{8}\right)}=-\frac {3}{4}=-0,75\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {13}{16}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{8}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{16}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {7}{8}+\frac {1}{16}=\frac {-14+1}{16}=-\frac {13}{16}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{16}=\frac {-12-1}{16}=-\frac {13}{16}$$

Valor aproximado: \(-\frac {3}{4}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {13}{16}-\left(-\frac {3}{4}\right)\right|}{\left|-\frac {13}{16}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{16}\right|}{\left|-\frac {13}{16}\right|}=\frac {1}{16}.\frac {16}{13}=\frac {1}{13} \approx 0,077 \nless 0,01$$ Iteración 5
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {13}{16};-\frac {3}{4}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que su imagen es negativa (\(-0,21\)) y la imagen del otro extremo es positiva (\(0,28\)); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}=-0,21\); \(f_{\left(-\frac {3}{4}\right)}=0,28\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{16}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{32}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {13}{16}+\frac {1}{32}=\frac {-26+1}{32}=-\frac {25}{32}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {3}{4}-\frac {1}{32}=\frac {-24-1}{32}=-\frac {25}{32}$$

Valor aproximado: \(-\frac {13}{16}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo izquierdo del intervalo está más próxima a cero que la del extremo derecho.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {25}{32}-\left(-\frac {13}{16}\right)\right|}{\left|-\frac {25}{32}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{32}\right|}{\left|-\frac {25}{32}\right|}=\frac {1}{32}.\frac {32}{25}=\frac {1}{25} = 0,04 \nless 0,01$$ Iteración 6
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {13}{16};-\frac {25}{32}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que es positiva (\(0,04)\) y la imagen del otro extremo es negativa (\(-0,21)\); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {13}{16}\right)}=-0,21\); \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}=0,04\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {51}{64}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{32}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{64}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {13}{16}+\frac {1}{64}=\frac {-52+1}{64}=-\frac {51}{64}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {25}{32}-\frac {1}{64}=\frac {-50-1}{64}=-\frac {51}{64}$$

Valor aproximado: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

La imagen del extremo derecho del intervalo está más próxima a cero que la del extremo izquierdo.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{relativo}=\frac {\left|-\frac {51}{64}-\left(-\frac {25}{32}\right)\right|}{\left|-\frac {51}{64}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{64}\right|}{\left|-\frac {51}{64}\right|}=\frac {1}{64}.\frac {64}{51}=\frac {1}{51} \approx 0,02 \nless 0,01$$ Iteración 7
Nuevo intervalo considerado: \(\left[-\frac {51}{64};-\frac {25}{32}\right]\) (mostrar por qué consideramos este intervalo)

Porque al analizar \(f_{\left(-\frac {51}{64}\right)}\) (imagen del valor tomado como exacto de la iteración anterior) vemos que que es negativa (\(-0,04)\) y la imagen del otro extremo es postiva (\(0,04)\); por Bolzano la raíz deberá estar dentro del nuevo intervalo considerado.

\(f_{\left(-\frac {51}{64}\right)}=-0,04\); \(f_{\left(-\frac {25}{32}\right)}=0,04\) (mostrar gráfico)

Valor tomado como exacto: \(-\frac {101}{128}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Valor medio del nuevo intervalo considerado. El valor medio se calcula sumando al extremo izquierdo (o restando al extremo derecho) del intervalo la mitad del tamaño del mismo. En este caso el tamaño del intervalo es \(\frac {1}{64}\) (como se puede verificar restando el extremo izquierdo del extremo derecho y dividiendo este resultado en dos), por consiguiente la mitad es \(\frac {1}{128}\). Finalmente calculamos el valor tomado como exacto de la siguiente manera: $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {51}{64}+\frac {1}{128}=\frac {-102+1}{128}=-\frac {101}{128}$$ o bien, $$Valor\ tomado\ como\ exacto=-\frac {25}{32}-\frac {1}{128}=\frac {-100-1}{128}=-\frac {101}{128}$$

valor aproximado: \(-\frac {25}{32}\) (mostrar por qué elegimos este valor)

Por azar. Aquí da lo mismo escoger uno u otro valor porque las imágenes de ambos distan lo mismo a cero.

Con estos valores calculamos el error (recordar fórmula para calcular error)

$$Error_{relativo}=\frac {|Error\ absoluto|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$ $$Error_{relativo}=\frac {|Valor\ tomado\ como\ exacto\ -\ Valor\ aproximado|}{|Valor\ tomado\ como\ exacto|}$$

$$Error_{(relativo}=\frac {\left|-\frac {101}{128}-\left(-\frac {25}{32}\right)\right|}{\left|-\frac {101}{128}\right|}=\frac {\left|-\frac {1}{128}\right|}{\left|-\frac {101}{128}\right|}=\frac {1}{128}.\frac {128}{101}=\frac {1}{101} \approx 0,001 \lt 0,01$$
Por consiguiente en \(x=-\frac {101}{128}\) hay un cero de \(f\) con un error menor a \(0,01\).

Ejercicios propuestos para aproximar raíces:
b) \(f_{(x)}=-x^3+4x+8\ \) en \((2;3)\)
c) \(f_{(x)}=x^4+x^2+x-6\ \) en \((1;2)\)

Método de Bisección \(\frac {divide\ et}{impera}\)

Uno de los problemas típicos del análisis matemático es la búsqueda de ceros o raíces de una ecuación. Un cero o raíz de una función es un valor del dominio para el cual la imagen es cero. En otras palabras, se busca la intersección de la representación gráfica de la función con el eje de las abscisas. El problema consiste en encontrar los valores de las variable \(x\) que satisfacen la ecuación \(f_{(x)}=0\)
El método de bisección se utiliza para hallar raíces de funciones continuas basándose en el teorema de Bolzano (corolario del teorema del valor intermedio) y adquiere especial importancia en la aproximación de raíces no exactas.

El método consiste en:

1. Separación de raíces en intervalos de tal manera que contengan una y sola una raíz de la función y que la misma no sea ni \(x=a\) ni \(x=b\).
2. Asegurarse de la continuidad de la función en dichos intervalos.
   
3. Si se cumplen los dos ítems anteriores, entonces tendremos un intervalo \([a;b]\) y \(f_{(c)}=0\), con \(a\lt c \lt b\). Por el teorema de Bolzano entonces se verificará que \(f_{(a)}.f_{(b)}\lt 0\) (esto es una manera elegante de comprobar que las imágenes de los extremos son de signos opuestos).
4. Mejorar por iteración los valores de las raíces aproximadas de tal manera que presenten el error de exactitud deseado.
• Se calcula el punto medio (llamémoslo \(m\)) del intervalo \([a;b]\).
• Si \(f_{(m)}=0\) entonces hemos encontrado la raíz buscada.
• Si \(f_{(m)}\ne 0\) verificamos si \(f_{(m)}\) tiene signo opuesto a \(f_{(a)}\) o a \(f_{(b)}\).
• En función del ítem anterior se redefine el intervalo a \([a;m]\) o \([m;b]\).
• Se itera nuevamente con este intervalo encerrando a la solución en un intervalo cada vez más pequeño hasta alcanzar la precisión deseada.

Teorema de Bolzano

Si la función \(y=f_{(x)}\ \) es continua en el segmento \([a;b]\), tomando en los extremos de éste valores de signos contrarios, entre los puntos \(a\) y \(b\) se hallará por lo menos un punto \(x=c\), en el que la función se reduce a cero: $$f_{(c)}=0, a\lt c \lt b$$ Este teorema tiene una sencilla interpretación geométrica. La gráfica de la función continua \(y=f_{(x)}\), que une los puntos \(M_1\ [a;\ f_{(a)}]\) y \(M_2\ [b;\ f_{(b)}]\), donde \(f_{(a)}\lt 0\) y \(f_{(b)}\gt 0\) (o \(f_{(a)}\gt 0\) y \(f_{(b)}\lt 0\)), corta al eje \(Ox\) por lo menos en un punto.

Piskunov, 1977

9 - Ensalada de temperaturas

Fuente: Adaptado de Matemática Práctica para el Ciclo Básico Común de la UBA, Práctica 0 a 6.

La relación funcional entre grados Celsius (\(^\circ C\)) y grados Kelvin (\(K\)) es lineal. Sabiendo que \(0^\circ C=273\ K\), \(27^\circ C=300\ K\) y que la expresión \(f_{(x)}=\frac {9}{5}x+32\ \), expresa la temperatura en grados Fahrenheit (\(^\circ F\)) conocida la misma en \(^\circ C\); encontrar la expresión de la temperatura en \(^\circ F\) en función de la temperatura en \(K\). (mostrar resolución)

Se resuelve mediante una composición de funciones del tipo \((f \circ g)_{(x)}=f_{\left(g_{(x)}\right)}\). En este caso \(g_{(x)}=x-273\ \) expresa la relación funcional (lineal) para hallar la temperatura en \(^\circ C\), dada una temperatura en K. Así... $$(f \circ g)_{(x)}=f_{\left(g_{(x)}\right)}=\frac {9}{5}\left(g_{(x)}\right)+32$$ $$(f \circ g)_{(x)}=\frac {9}{5}(x-273)+32$$

8 - Módulo de la mantisa

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Hallar los conjuntos de negatividad, ceros o raíces de la función y positividad de la función módulo de la mantisa \(|x-\lfloor x\rfloor|\)

(mostrar resolución)

Ésta es una función que devuelve sólo valores positivos, más precisamente la parte no entera del argumento, tal como podemos observar en la representación gráfica.
\(C^-=\{\varnothing\}\) (mostrar por qué)

Por lo expuesto y observando la gráfica, la función no devuelve valores negativos, por lo tanto, el conjunto de negatividad es vacío.

\(C^0=\{x\,|\,x\in\Bbb Z\}\) (mostrar por qué)

Para todos los valores del dominio enteros, es decir, que no poseen mantisa, la función devuelve el valor cero.

\(C^+=\Bbb R-C^0\) (mostrar por qué)

Todos los puntos del dominio, exceptuando los enteros, pertenecen al conjunto de positividad.

7 - Mantisa

Fuente: Gustavo Díaz Vélez

Esquema General del Análisis de Funciones (Prezi)

La función mantisa \(x-\lfloor x\rfloor\) ¿es una función par o impar? (mostrar respuesta)

Ésta es una función trascendental porque trasciende el álgebra y devuelve el valor no entero del argumento. Su representación gráfica es:

La función mantisa es una función impar pues se verifica que \(f_{(-x)}=-f_{(x)}\) $$f_{(x)}=x-\lfloor x\rfloor$$ $$f_{(-x)}=-x-\lfloor -x\rfloor=-x+\lfloor x\rfloor=-(x-\lfloor x\rfloor)=-f_{(x)}$$ Y, al ser una función impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas.

¿es una función periódica? (mostrar respuesta)

Una función es periódica si se verifica que \(f_{(x+P)}=f_{(x)}\ \) siendo P el mínimo valor de un conjunto de números positivos para los cuales se verifica la igualdad. Dicho esto, analicemos la periodicidad de la función mantisa: $$¿f_{(x+P)}=f_{(x)}?$$ $$¿x+P-\lfloor x+P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor?$$ $$x-\lfloor x\rfloor +P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor$$ $$P-\lfloor P\rfloor=x-\lfloor x\rfloor -(x-\lfloor x\rfloor)$$ $$P-\lfloor P\rfloor=0$$ $$P=\lfloor P\rfloor$$ Y esto se verifica para todos los números que no posean mantisa, es decir, para cuando \(P\) es igual a 1, 2, 3 y en general para todos los números naturales. Por lo tanto la función mantisa es periódica y su período es 1.
Notemos que esta igualdad se verifica también para todos los números negativos, e incluso para el valor cero. Por consiguiente, ¿que podemos decir acerca de la periodicidad de esta función a derecha e izquierda respecto del eje de ordenadas?

6 - Área entre parábola y recta

Fuente: EC7, Leithold, Oxford.

Calcule el área de la región limitada por la parábola \(y^2=2x-2\) y la recta \(y=x-5\)

(mostrar resolución)

Al graficar las curvas vemos que se intersecan en dos puntos y el área buscada es la región que se encuentra limitada entre ambas.

La ecuación \(y^2=2x-2\) es equivalente a las funciones \(f_{1(x)}=\sqrt{2x-2}\) y \(f_{2(x)}=-\sqrt{2x-2}\). De modo que la primera ecuación porporciona la parte superior de la parábola mientras que la segunda ecuación la parte de abajo.
\(A_1=\frac {16}{3}\ unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$A_1=\int_1^3 {f_{1(x)}-f_{2(x)}\ dx}=\int_1^3 {\sqrt{2x-2}-(-\sqrt{2x-2})\ dx}=\int_1^3 {\sqrt{2x-2}+\sqrt{2x-2}\ dx}$$ $$A_1=2\int_1^3 {\sqrt{2x-2}\ dx}=2\int_1^3 {\sqrt{2(x-1)}\ dx}=2\int_1^3 {\sqrt{2}\sqrt{x-1}\ dx}$$ $$A_1=2\sqrt{2}\int_1^3 {\sqrt{x-1}\ dx}=2\sqrt{2}\int_1^3 {(x-1)^{\frac{1}{2}}\ dx}=\left.2\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac {1}{2}+1}\right|_1^3$$ $$A_1=\left.2\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac {3}{2}}\right|_1^3=\left.2\sqrt{2}\ \frac {2}{3}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}\right|_1^3=\left.\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}\right|_1^3$$ $$A_1=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (3-1)^{\frac{3}{2}}-\left(\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ (1-1)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 2^{\frac{3}{2}}-\left(\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 0^{\frac{3}{2}}\right)$$ $$A_1=\frac {4}{3}\ \sqrt{2}\ 2^{\frac{3}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^{\frac{1}{2}}\ 2^{\frac{3}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)}=\frac {4}{3}\ 2^{\frac{4}{2}}=\frac {4}{3}\ 2^2=\frac {4}{3}\ 4$$

\(A_2=\frac {38}{3} unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$A_2=\int_3^9 {f_{1(x)}-g_{(x)}\ dx}=\int_3^9 {\sqrt{2x-2}-(x-5)\ dx}=\int_3^9 {\sqrt{2(x-1)}-x+5\ dx}$$ $$A_2=\int_3^9 {\sqrt{2}\sqrt{x-1}-x+5\ dx}=\left.\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac {1}{2}+1}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9=\left.\sqrt{2}\ \frac {(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac {3}{2}}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9$$ $$A_2=\left.\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (x-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}+5x\ \right|_3^9=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (9-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{9^2}{2}+5(9)-\left(\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (3-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{3^2}{2}+5(3)\right)$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (8)^{\frac{3}{2}}-\frac{81}{2}+45-\left(\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ (2)^{\frac{3}{2}}-\frac{9}{2}+15\right)=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{8^3}-\frac{81}{2}+45-\frac {8}{3}+\frac {9}{2}-15$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{512}-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {2}{3}\ \sqrt{2}\ \sqrt{2}\sqrt{256}-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30$$ $$A_2=\frac {2}{3}\ \sqrt{2^2}\ (16)-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {2}{3}\ (2)\ (16)-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30$$ $$A_2=\frac {4}{3}\ 16-\frac{72}{2}-\frac {8}{3}+30=\frac {64}{3}-\frac {8}{3}-\frac{72}{2}+30=\frac {56}{3}-\frac{72}{2}+30=\frac{112-216+180}{6}=\frac {76}{6}$$

\(\acute Area_{Total}=18\ unidades\ de\ \acute area\) (mostrar cálculos)

$$\acute Area_{Total}=A_1+A_2$$ $$\acute Area_{Total}=\frac {16}{3}+\frac {38}{3}=\frac {16+38}{3}=\frac {54}{3}$$

5 - Alumnos de 18, 19 y 20 años (Gauss-Jordan)

Fuente: Matemáticas 2, Martínez-Mediano y Otros, Mc Graw Hill.

Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años. Si la media de sus edades es de 18,5 años, ¿cuántos alumnos hay de cada edad si de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años?
Resolver aplicando el método de Gauss-Jordan.

¿Cómo resolver? (Mostrar)

Estrategia (Mostrar)

Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss-Jordan.

Paso a Paso (Mostrar)

Análisis y Diagnóstico (Mostrar)

Ver Análisis y Diagnóstico de 4 - Alumnos de 18, 19 y 20 años (Gauss)

Proceso Resolutivo (Mostrar)

Partimos del sistema de ecuaciones hallado en 4 - Alumnos de 18, 19 y 20 años (Gauss) $$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\&+Y&+2\ Z&=16\\&&-2\ Z&=-6\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ Triangulamos la parte superior de la matriz (aporte de Jordan al método de Gauss). (Mostrar)

A la primer fila la reemplazamos por la suma entre el doble de la primer fila y la tercera. A la segunda fila la reemplazamos por la suma entre la segunda y tercer fila. $$\begin{pmatrix}2x1+0 & 2x1+0 & 2x1-2 & 2x32-6\cr 0+0 & 1+0 & 2-2 & 16-6\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}2+0 & 2+0 & 2-2 & 64-6\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 & 58\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ Reemplazamos nuevamente la primer fila por la resta entre la primera y el doble de la segunda fila. $$\begin{pmatrix}2-(2x0) & 2-(2x1) & 0-(2x0) & 58-(2x10)\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}2-0 & 2-2 & 0-0 & 58-20\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 38\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$

Por último, a la primer fila la reemplazamos nuevamente por la mitad de la misma y a la tercer fila por sí misma dividida por -2. (Mostrar)

$$\begin{pmatrix}\frac {2} {2} & \frac {0} {2} & \frac {0} {2} & \frac {38} {2} \cr 0 & 1 & 0 & 10\cr \frac {0} {-2} & \frac {0} {-2} & \frac {-2} {-2} & \frac {-6} {-2}\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 19\cr 0 & 1 & 0 & 10\cr 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$$

Conclusión (Mostrar)

Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}X&=19\\Y&=10\\Z&=3\end{cases}$$

Respuesta (Mostrar)

La cantidad de alumnos de 18 años es 19.
La cantidad de alumnos de 19 años es 10.
La cantidad de alumnos de 20 años es 3.

4 - Alumnos de 18, 19 y 20 (Gauss)

Fuente: Matemáticas 2, Martínez-Mediano y Otros, Mc Graw Hill.

Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años. Si la media de sus edades es de 18,5 años, ¿cuántos alumnos hay de cada edad si de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años?
Resolver aplicando el método de Gauss.

¿Cómo resolver? (Mostrar)

Estrategia (Mostrar)

Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss.

Paso a Paso (Mostrar)

Análisis y Diagnóstico (Mostrar)

Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
X = Cantidad de alumnos de 18 años.
Y = Cantidad de alumnos de 19 años.
Z = Cantidad de alumnos de 20 años.
Primer ecuación: "Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19 y 20 años". $$X+Y+Z=32$$ Segunda ecuación: "... la media de sus edades es de 18,5 años". $$\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}=18,5$$ Tercer ecuación: "... de 18 años hay seis más que entre 19 y 20 años". $$X=Y+Z+6$$

Proceso Resolutivo (Mostrar)

Planteamos el sistema de ecuaciones. $$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}&=18,5\\X&=Y+Z+6\end{cases}$$ Por conveniencia, reescribimos la matriz realizando unas operaciones algebraicas. (Mostrar)

$$\begin{cases}X+Y+Z&=32\\\frac{18\ X+19\ Y+20\ Z}{32}\ (32)&=18,5\ (32)\\X-Y-Z&=Y+Z+6-Y-Z\end{cases}$$

$$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\18\ X&+19\ Y&+20\ Z&=592\\X&-Y&-Z&=6\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18 & 19 & 20 & 592\cr 1 & -1 & -1 & 6\end{pmatrix}$$

Utilizando el teorema de transformaciones elementalaes de las filas de una matriz, formamos una matriz escalonada (método de Gauss). (Mostrar)

A la tercer fila la reemplazamos por le resta de la primera y la tercera. A la segunda la reemplazamos por la resta de la segunda fila y 18 veces la primera. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-(18x1) & 19-(18x1) & 20-(18x1) & 592-(18x32)\cr 1-1 & 1-(-1) & 1-(-1) & 32-6\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 18-18 & 19-18 & 20-18 & 592-576\cr 0 & 1+1 & 1+1 & 26\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 2 & 2 & 26\end{pmatrix}$$ Por último, reemplazamos nuevamente la tercer fila por la resta entre la tercera y 2 veces la segunda. $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-(2x0) & 2-(2x1) & 2-(2x2) & 26-(2x16)\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0-0 & 2-2 & 2-4 & 26-32\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 32\cr 0 & 1 & 2 & 16\cr 0 & 0 & -2 & -6\end{pmatrix}$$ Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}X&+Y&+Z&=32\\&+Y&+2\ Z&=16\\&&-2\ Z&=-6\end{cases}$$

Conclusión (Mostrar)

De la última ecuación del sistema equivalente obtenido por Gauss, realizado en el proceso resolutivo, se deduce: (Mostrar)

$$\frac{-2\ Z=}{-2}=\frac{-6}{-2}$$

$$Z=3$$

Con este valor y de la segunda ecuación, se deduce: (Mostrar)

$$Y+2\ (3)=16$$ $$Y+6=16$$ $$Y+6-6=16-6$$

$$Y=10$$

Con estos valores y de la primer ecuación, se deduce: (Mostrar)

$$X+10+3=32$$ $$X+13=32$$ $$X+13-13=32-13$$

$$X=19$$

Respuesta (Mostrar)

La cantidad de alumnos de 18 años es 19.
La cantidad de alumnos de 19 años es 10.
La cantidad de alumnos de 20 años es 3.

3 - Piscina Llena

Fuente: Matrices y Determinantes, Earl W. Swokowski, Grupo Editorial Iberoamérica.

Una piscina puede ser llenada mediante tres tubos de suministro de agua: A, B y C. El tubo A puede llenarla en 8 horas. Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas. Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina si se emplean A, B y C al mismo tiempo?

¿Cómo resolver? (Mostrar)

Estrategia (Mostrar)

Construir un sistema de ecuaciones lineales y aplicar el método de Gauss. La clave es plantear las ecuaciones en proporción de volumen de pileta cubierta por hora de llenado.

Paso a Paso (Mostrar)

Análisis y Diagnóstico (Mostrar)

Identificamos las variables para construir un sistema de ecuaciones:
A = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo A de suministro de agua.
B = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo B.
C = proporción horaria de llenado de la pileta con el tubo C.
Primer ecuación: "El tubo A puede llenarla en 8 horas". Esto significa que en una hora completará 1/8 de pileta: $$A=\frac{1}{8}$$ Segunda ecuación: "Si se usan A y C juntos, la piscina se llenará en 6 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/6 de pileta. $$A+C=\frac{1}{6}$$ Tercer ecuación: "Si se utilizan B y C, se requieren entonces 10 horas". Esto significa que utilizando los tubos mencionados en una hora completarán 1/10 de pileta. $$B+C=\frac{1}{10}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones resultante, ya que las tres restricciones deben ser satisfechas simultáneamente. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\\A+C=\frac{1}{6}\\B+C=\frac{1}{10}\end{cases}$$ Generamos la matriz del sistema
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\end{pmatrix}$$

Proceso Resolutivo (Mostrar)

Por conveniencia, reordenamos la matriz intercambiando la segunda y tercer fila. $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 1 & 0 & 1 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}$$ Formamos una matriz escalonada (método de Gauss), transformando la última fila de la matriz restándole la primera fila. (Mostrar)

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr (1-1) & (0-0) & (1-0) & \frac{1}{6}-\frac{1}{8}\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\cr 0 & 1 & 1 & \frac{1}{10}\cr 0 & 0 & 1 & \frac{1}{24}\end{pmatrix}$$ Esta matriz se corresponde con el siguiente sistema equivalente al originalmente considerado. $$\begin{cases}A=\frac{1}{8}\cr B+C=\frac{1}{10}\cr C=\frac{1}{24}\end{cases}$$

De la segunda ecuación se deduce: (Mostrar)

$$B+C-C=\frac{1}{10}-C$$ $$B=\frac{1}{10}-C$$ $$B=\frac{1}{10}-\frac{1}{24}$$ $$B=\frac{24-10}{240}$$ $$B=\frac{14}{240}$$

$$B=\frac{7}{120}$$

Entonces tenemos que en una hora se completarán A+B+C partes de la piscina: (Mostrar)

$$A+B+C=\frac{1}{8}+\frac{7}{120}+\frac{1}{24}$$ $$A+B+C=\frac{15+7+5}{120}$$

$$A+B+C=\frac{27}{120}$$

Conclusión (Mostrar)

Si ... $$\frac{27}{120}$$ ... partes de la pileta se completan en una hora utilizando los tres tubos de suministro de agua, entonces (por regla de tres), la piscina se completará en: $$x=\frac {1\ h\ 1\ parte(s)\ de\ piscina}{\frac{27}{120}\ parte(s)\ de\ piscina}$$

Respuesta (Mostrar)

Utilizando los tres tubos de suministro de agua, A, B y C, la piscina se llenará en: $$\frac{120}{27}\ h= 4,\hat 4\ h$$